2) non avendo ancora studiato a scuola la definizione di integrale di Riemann allora mi riferisco alla definizione 1.1 di
di questo documento.
La funzione è integrabile se $\sup s(P,f)=\inf S(P,f)$ dove $f$ è la funzione di Riemann, $P$ una qualsiasi partizione dell'intervallo $[a,b]$, $s$ l'area per difetto e $S$ l'area per eccesso. Per un qualsiasi intervallo il valore minimo della funzione è 0 quindi l'area per difetto è sempre nulla ($s(P,f)=0 \; \forall P$). Devo dimostrare che $\inf S(P,f) =0$ che è vero se e solo se $\exists P$ tale che $S(P,f)<\epsilon$.
L'area per eccesso la approssimo a un rettangolo di base $b-a$ e altezza $\frac{1}{q}$, di questa zona fanno parte tutti i punti tranne $(\lfloor b-a \rfloor +1)\sum_{n=1}^{q-1} \phi (n)$ punti. Per ogni punto $x$ aggiungo un'area di base $\frac{1}{q^3}$ e altezza $f(x)-\frac{1}{q}$ in modo tale che l'area per eccesso è minore dell'area $A$ formata dall'unione di tutti i rettangoli ($S(P,f)<A$). $A<\frac{b-a}{q}+(\lfloor b-a \rfloor +1)\sum_{n=1}^{q-1}\phi (n)\frac{1}{q^3}<\frac{b-a}{q}+(\lfloor b-a \rfloor +1)\sum \phi (q) \frac{1}{q^3}<\frac{b-a}{q}+(\lfloor b-a \rfloor +1)\frac{q^2}{q^3}<\frac{2(b-a)+1}{q}$
mi basta scegliere $q>\frac{2(b-a)+1}{\epsilon}$ e dividere il segmento $[a,b]$ in $q^3$ parti uguali per avere $S(P,f)<\epsilon$.
Domanda: esiste l'integrale indefinito di $f$?
Ci ho ragionato e mi sembra che non esista, infatti $\int_a^bf(x)\;dx=\int f(b)\; dx-\int f(a)\; dx=0$ da cui $\int f(a) \; dx =\int f(b)\; dx=k$ quindi derivo e ottengo che $f(x)=0$ che è assurdo.
Qualcuno può dirmi se le mie due dimostrazioni sono giuste? grazie
