Cesenatico 1989,problema 1

[LukasEta]

Dire se l'equazione $ x^2 + xy + y^2 = 2 $ ammette soluzioni $ ( x , y ) $ con $ x $ e $ y $ entrambi razionali.

La prima cosa che mi è venuta in mente è stata risolvere l'equazione in $ x $ per ottenere il Delta : $ \sqrt{8 - 3y^2} $. Poi ho provato a porre $ y=\frac{p}{q} $ (con $ p $ e $ q $ interi).
Da cui Delta= $ \sqrt{\frac{8q^2-3p^2}{q^2}} $ Mi rimane quindi da dire se $ 8q^2-3p^2=m^2 $ può avere soluzioni intere per p,q e m. In caso negativo l'equazione non potrà avere soluzione razionali per la $ x $ e di conseguenza nemmeno per la $ y $

Solo che non ho idea di come andare avanti


PS: Questo è il mio post in L$ a $T$ e $X, spero vada bene xD

[Giuseppe R]

Testo nascosto:

Hint: modulo 3 e discesa infinita

[LukasEta]

Allora...
riscrivo come $ 3p^2=8q^2-m^2 $ e lavoro modulo 3. Ho che $ 8q^2-m^2\equiv 0\mod 3 $.
Siccome $ q^2\equiv m^2\equiv 0 oppure 1 \mod 3 $, e siccome $ 8q^2\equiv 0oppure2 \mod 3 $, allora avrò per forza che $ q^2\equiv m^2\equiv 0\mod 3 $.
Ma allora $ 8q^2-m^2 $ è divisibile per almeno 9, e anche $ q^2\equiv 0 \mod 3 $. Posso quindi dividere tutto per 3 . Chiamo $ p',q',m' $ rispettivamente $ p/3,q/3,m/3 $ , divido per 3 e riscrivo:

$ 8q'^2-m'^2=3p'^2 $

Analogamente , posso ripetere il processo all'infinito. abbiamo quindi che $ p,q,m $ sono divisibili per una potenza arbitrariamente grande di 3, e sono quindi nulli.
Non ci sono quindi soluzioni intere per l'equazione $ 3p^2=8q^2-m^2 $ , quindi $ 8q^2-3p^2 $ non è mai un quadrato perfetto, quindi non ci sono soluzioni razionali per $ X $.
Siccome $ x^2+xy+y^2=2 $ è simmetrica in $ x,y $, non ci sono soluzioni razionali nemmeno per $ y $.





Ditemi se va bene tutto!!! Grazie per l'hint

[LukasEta]

Ah una cosa, va dimostrato che un quadrato perfetto non può essere $ \equiv 2 \mod 3 $?

[Giuseppe R]

Ah una cosa, va dimostrato che un quadrato perfetto non può essere $ \equiv 2 \mod 3 $?

Si può dare per noto penso, e se proprio vuoi essere sicuro, ti servono solo 3 tentativi... comunque anche se uno non conosce la discesa infinita, poteva tranquillamente supporre p/q ridotta ai minimi termini per poi trovare un assurdo.

[jordan]

Dire se l'equazione $ x^2 + xy + y^2 = 2 $ ammette soluzioni $ ( x , y ) $ con $ x $ e $ y $ entrambi razionali.

Posto $ x:=ab^{-1}, y:=cd^{-1} $ con $ \text{gcd}(a,b)=\text{gcd}(c,d)=1 $ abbiamo che $ x^2+xy+y^2=2 $ se e solo se $ \left(2\frac{ad}{b}+c\right)^2+3c^2=8d^2 $ per esiste un $ e\in \mathbb{Z} $ tale che $ d=be $, per cui vale $ X^2+3Y^2=2Z^2 $, dove $ X:=2ae+c, Y:=c, Z:=2be $; posto $ \text{gcd}(X,Y,Z)=1 $ abbiamo $ (XZ)^{-1}\equiv 2\pmod{3} $, ma $ (\frac{2}{3})=-1 $, per cui $ 3\mid \text{gcd}(X,Z) $, e quindi anche $ 3\mid Y $, contraddicendo l'ipotesi di terna primitiva.