Una bella somma di inraggi

[dario2994]

È un vecchio giornalino, forse è gia passato dal forum.

Sia $ABC$ un triangolo e $D$ un punto sul lato $AB$.
Chiamo $\Gamma_1$ la circonferenza inscritta al triangolo $CAD$. La tangente a $\Gamma_1$ parallela ad $AB$ interseca $CD,CB$ in $E,F$. Chiamo $\Gamma_2$ la circonferenza inscritta nel triangolo $CEF$.
Dimostrare che la somma dei raggi di $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ è uguale al raggio della circonferenza inscritta ad $ABC$

p.s. Buon capodanno

[Federiko]

Carino come problema!!! Mi ha fatto un po' scervellare per risolverlo e come al solito quando rispondo a un problema non posto la soluzione ma rilancio con un problema bonus!!

Bonus Problem (di cui il precedente è un caso particolare)
Sia $ABC$ un triangolo e $D$ un punto sul lato $AB$. Sia $\Gamma_1$ la circonferenza inscritta in $CAD$. Sia $t$ una retta tangente a $\Gamma_1$ che lascia $C$ e $\Gamma_1$ in due semipiani diversi; $t$ interseca $CD$ e $CB$ in $E,F$. Chiamo $\Gamma_2$ la circonferenza inscritta nel triangolo $CEF$. Sia $u$ la tangente comune esterna a $\Gamma_2$ e alla circonferenza inscritta ad $ABC$ diversa da $BC$.
Dimostrare che $AB$, $t$, $u$ concorrono.
Notare che il caso $AB\parallel u$ conduce alla tesi del precedente problema.