Equazione di Decimo Grado. (Da un test del S.Anna)

[LukasEta]

Determinare tutte le radici reali dell'equazione:

$ x^{10}-x^8+8x^6-24x^4+32x^2-48=0 $.

Io per ora sono riuscito a trovare soltanto $ x=\pm\sqrt{2} $.
Infatti ponendo $ x^2=t $ Otteniamo "a tentativi" che $ t=2 $.
Riesco quindi ad abbassarla di un grado di t, ottenendo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $... and now?

[jordan]

Determinare tutte le radici reali dell'equazione:

$ x^{10}-x^8+8x^6-24x^4+32x^2-48=0 $.

Io per ora sono riuscito a trovare soltanto $ x=\pm\sqrt{2} $.
Infatti ponendo $ x^2=t $ Otteniamo "a tentativi" che $ t=2 $.
Riesco quindi ad abbassarla di un grado di t, ottenendo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $... and now?

La prossima volta non mettere il testo nascosto please.. Comunque roba di radici di equazioni cosa di c'entra con teoria di numeri?

Btw, $ \displaystyle p(t):=t^4+t^3+10t^4-4t+24=(t^4+t^3+t^2+t+1)+9t^2-5t+23= $ $ \displaystyle \left(\frac{t^5-1}{t-1}\right)+\left(3t-\frac{5}{6}\right)^2+\left(23-\frac{25}{36}\right)>0 $. []

[Mist]

Anticipato...

[LukasEta]

Determinare tutte le radici reali dell'equazione:

$ x^{10}-x^8+8x^6-24x^4+32x^2-48=0 $.

Io per ora sono riuscito a trovare soltanto $ x=\pm\sqrt{2} $.
Infatti ponendo $ x^2=t $ Otteniamo "a tentativi" che $ t=2 $.
Riesco quindi ad abbassarla di un grado di t, ottenendo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $... and now?

La prossima volta non mettere il testo nascosto please.. Comunque roba di radici di equazioni cosa di c'entra con teoria di numeri?

Btw, $ p(t):=t^4+t^3+10t^4-4t+24=(t^4+t^3+t^2+t+1)+9t^2-5t+23=\displaystyle \left(\frac{t^5-1}{t-1}\right)+\left(3t-\frac{5}{6}\right)^2+\left(23-\frac{25}{36}\right)>0 $. []

Cavato il

Testo nascosto:

Scusate, ero convinto di averlo postato in algebra .--. Chi ne avesse la facoltà può spostare il thread! -- FATTO: ma_go.

btw: ok adesso dovrebbe tornare thanks

[julio14]

Senza nulla togliere alla soluzione stylish di jordan, ce la si poteva cavare con 2 minuti di studio di funzione e senza stare a trovare idee (è un test del s.anna, calculus is allowed)

[jordan]

Senza nulla togliere alla soluzione stylish di jordan, ce la si poteva cavare con 2 minuti di studio di funzione e senza stare a trovare idee (è un test del s.anna, calculus is allowed)

Essi, i testi del Sant'Anna sono la fine del mondo..

[LukasEta]

Senza nulla togliere alla soluzione stylish di jordan, ce la si poteva cavare con 2 minuti di studio di funzione e senza stare a trovare idee (è un test del s.anna, calculus is allowed)

Scusate l'ignoranza, ma ad esempio cosa avrei potuto fare solo con studio di funzione? Premetto che in quanto a studio di funzione al momento ho poche conoscenze (faccio l'ultimo anno di un classico )... La soluzione stylish di jordan comunque mi soddisfa troppo

[Claudio.]

Nascondo perchè le mie conoscenze in questo campo sono poche ^^

Testo nascosto:

$ f(x)=x^4+x^3+10x^2-4x+24$
derivi
$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente e diverge sia positivamente che negativamente, quindi la funzione non ha punti di flesso, ha una sola concavità verso l'alto e ammette minimo nel punto in cui la derivata si annulla. Adesso puoi trovare facilmente che questo minimo è compreso tra 0 e 1, e se non erro avendo la concavità verso l'alto, posso assumere che il differenziale appossimi l'incremento per difetto e quindi mostrare che questo minimo è maggiore di 0, ma non sono sicuro che sia lecito

[ma_go]

$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente e diverge sia positivamente che negativamente, quindi la funzione non ha punti di flesso.

questo è falso: anche $g(x)=x^3$ è strettamente crescente e diverge, ma ha un punto critico (di flesso) in $x=0$, che corrisponde ad un punto critico con $G''(0)=0$ per una sua primitiva $G$ (forse questa cosa dipende dalla definizione di "punto di flesso": io ho inteso "la derivata seconda non si annulla nel punto critico", da cui la correzione).
comunque, partendo da dove sei tu:

Testo nascosto:

$f'$ si annulla in un solo punto (e questo è giustissimo) e questo punto è compreso tra 0 e 1, per il teorema del valor intermedio (e anche questo è giusto).
$f$ tende a $+\infty$ ad entrambi gli estremi, quindi l'unico punto critico dev'essere di minimo (senza stare a fare derivate seconde), e si verifica a mano che per $0<x<1$ si ha $f(x)>0$: $|f(x)| \ge 24-|x^4+x^3+10x^2-4x| \ge 24 - |x^4|-|x^3|-|10t^2|-|4t| \ge 24-1-1-10-4 \ge 8 > 0$.

in alternativa, fai la derivata seconda, verifichi che la funzione $f$ è convessa, e stimi con $f(x)\ge f(0)+f'(0)x$, giustamente. se non basta stimi anche con $f(x)\ge f(1)+f'(1)(x-1)$, tanto "il grafico di una funzione convessa sta sopra ogni sua (sub)tangente".
la tua soluzione è un po' fumosa a tratti, e probabilmente in contesto olimpico prenderebbe uno 0 (per motivi già espressi in qualche altro topic recente: se usi i cannoni, devi usarli "con tutti i crismi").

[Claudio.]

Intendo che f(x) non ha punti di flesso non la derivata, se non sbaglio se la derivata di una funzione è sempre strettamente crescente, o decrescente, allora la funzione non cambia concavità...è vero?
Comunque si è totalemente fumosa, non voleva essere una dimostrazione, ma un procedimento da seguire per scriverla per estesa ^^ ma so molto poco di analisi non avrei saputo citare i teoremi che servivano, erano cose intuitive.

[paga92aren]

$f(x)=x^4+x^3+10x^2-4x+24$
derivi
$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente

Giusta l'idea, ma non capisco perché quel polinomio è strettamente crescente.

Io farei: $f'(0)<0$ e $f'(1)>0$ quindi la funzione ammette una radice $\lambda$ nell'intervallo (0,1). Riscrivo $f'$:
$f'(x)=(x-\lambda)(4x^2+(3+4\lambda)x+(4\lambda^2+3\lambda+20))$
Il secondo polinomio non ha radici reali, infatti $\Delta=-20\lambda^2-30\lambda-311<0$ per $\lambda >0$.
Quindi l'unico punto di minimo è in $x=\lambda$
Calcolo approssimativamente il valore di $f(\lambda)> 0^4+0^3+10\cdot 0^2-4\cdot 1+24>0$ quindi il minimo della funzione è positivo.

P.S. ma_go mi ha appena anticipato, ma ormai lo ho scritto e quindi lo posto.

[ma_go]

$f(x)=x^4+x^3+10x^2-4x+24$
derivi
$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente

Giusta l'idea, ma non capisco perché quel polinomio è strettamente crescente.

sulla semiretta positiva, è una somma di funzioni crescenti. (tanto stiamo considerando solo valori positivi di $x$)