simpatica uguaglianza

[dummy]

Provare che, dati $ a_0,\dots, a_n $ reali positivi, vale la seguente

$ 1+\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{a_i}\prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)\right)=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $

[io.gina93]

Provare che, dati $ a_0,\dots, a_n $ reali positivi, vale la seguente

$ 1+\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{a_i}\prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)\right)=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $

Ho alcune perplessità...
(anche perchè non ho mai usato le sommatorie e le produttorie... )

$ \prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right) $
non manca l'indice superiore? ammesso che sia n, io parto da j, ma qual è il suo valore?


e poi il secondo membro $ \prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $ non è uguale a zero??

[Claudio.]

e poi il secondo membro $ \prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $ non è uguale a zero??

E perchè mai?
Tutti gli $a_i$ sono maggiori di 0 quindi $1+\frac{1}{a_i}>1$ e quello è un prodotto di fattori tutti magiori di 1....

[ma_go]

$ \prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right) $
non manca l'indice superiore? ammesso che sia n, io parto da j, ma qual è il suo valore?

questo è solo un modo per alleggerire la notazione: quando gli indici sono abbastanza chiari dal contesto, quindi invece di scrivere $\displaystyle \prod_{\stackrel{0\le j \le n}{j\neq i}}$ si scrive semplicemente $\displaystyle \prod_{j\neq i}$.

[io.gina93]

ok grazie a tutti e due...

per Claudio: mi pare che la produttoria parta da i=0...

[Claudio.]

Aspetta stai interpetando male la notazione $a_0$ non è 0 ^^ è solo il primo elemento della n-upla. Tra le ipotesi c'è scritto che tutti gli $a_i$ siano positivi.

[Claudio.]

Un hint?

[<enigma>]

Questa l'avevo già vista

[dario2994]

Ecco l'hint

Testo nascosto:

Induzione sul numero di variabili, non viene in modo ovvio però... tocca applicare l'ipotesi induttiva ben 3 volte.

[Claudio.]

Niente, non fa ancora per me
Quando scrivo un produttoria senza argomento allora intendo(hp sta per ipotesi non sapevo come distinguerla ^^): $\displaystyle\prod^k_{hp}=\frac1{a_i}\prod_{j\ne i}^k{(1+\frac1{a_j-a_i})}$
Quindi l'ipotesi induttiva è $\displaystyle 1+\sum^n{(\prod^n_{hp})}=\prod^n(1+\frac1{a_i})$
Il passo induttivo dovrebbe essere:
$\displaystyle 1+\sum^{n+1}{(\prod^{n+1}_{hp})}=\prod^{n+1}(1+\frac1{a_i})$
Arrivo facendo normali calcoli a:
$\displaystyle \sum^n{(\prod^n_{hp})}=\left[\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\right]\left[\sum^n{[(1+\frac1{a_{n+1}-a_i})\prod^n_{hp}]}+\frac1{a_{n+1}}[\prod^n(1+\frac1{a_i-a_{n+1}})-1]\right]$
Non si capisce nulla e probabilmene è completamente inutile.

[dario2994]

Niente, non fa ancora per me
Quando scrivo un produttoria senza argomento allora intendo(hp sta per ipotesi non sapevo come distinguerla ^^): $\displaystyle\prod^k_{hp}=\frac1{a_i}\prod_{j\ne i}^k{(1+\frac1{a_j-a_i})}$
Quindi l'ipotesi induttiva è $\displaystyle 1+\sum^n{(\prod^n_{hp})}=\prod^n(1+\frac1{a_i})$
Il passo induttivo dovrebbe essere:
$\displaystyle 1+\sum^{n+1}{(\prod^{n+1}_{hp})}=\prod^{n+1}(1+\frac1{a_i})$
Arrivo facendo normali calcoli a:
$\displaystyle \sum^n{(\prod^n_{hp})}=\left[\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\right]\left[\sum^n{[(1+\frac1{a_{n+1}-a_i})\prod^n_{hp}]}+\frac1{a_{n+1}}[\prod^n(1+\frac1{a_i-a_{n+1}})-1]\right]$
Non si capisce nulla e probabilmene è completamente inutile.

Non c'ho capito nulla
Mi chiedevo se esiste una motivazione in qualche modo profonda per cui questo vale... insomma, chi ha trovato l'identità come diavolo ha fatto (ma poi "è nota?" (che vuol dir poco... ma insomma... ha un nome? è famosa in qualche strana branca della matematica? ) )

[Mist]

@ Claudio.: sì, fin lì mi sembra giusta... O meglio, se hai sbagliato ho sbagliato anche io nello stesso identico modo . Io dopo ho provato a usare qualche sorta di sviluppo pseudo intuitivo ( cose folli insomma ), ma non portano a niente, sono solo una marea di conti Magari mi ci rimetto tra un po' !

[Claudio.]

Dario ho semplicemente fatto il passo induttivo, portato la produttoria del secondo membro ad indice n e sostituito tramite l'ipotesi induttiva, e poi h o semplicemente portato gli indici delle sommatorie e produttorie a n cercando di riuscire ad usare di nuovo l'ipotesi induttiva ma non riesco ad uscire que prodotto dalla sommatoria, credo che ti abbia confuso la "folle" notazione ^^ comunque il "chiedo aiuto" era implicito

[dario2994]

Dario ho semplicemente fatto il passo induttivo, portato la produttoria del secondo membro ad indice n e sostituito tramite l'ipotesi induttiva, e poi h o semplicemente portato gli indici delle sommatorie e produttorie a n cercando di riuscire ad usare di nuovo l'ipotesi induttiva ma non riesco ad uscire que prodotto dalla sommatoria, credo che ti abbia confuso la "folle" notazione ^^ comunque il "chiedo aiuto" era implicito

Uhm... non escludo affatto (anzi sono abbastanza convinto) che in parte quello che scrivo è quello che hai fatto...

Testo nascosto:

Chiamo a=a_{n+1}, allora (tenendo sempre gli indici tra 1 e n) facendo qualche conto (svolgo tutto quello dove compare a) arrivo a ricondurre il passo induttivo a questo:
$\displaystyle 1+\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{a_i}\prod_{i≠ j}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)+\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{a_i(a-a_i)}\prod_{i≠ j}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)+\frac{1}{a}\prod_{i=0}^n\frac{1}{a_i-a}=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right)+\frac{1}{a}\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right)$
Prova a dimostrarlo sfruttando l'ipotesi induttiva applicata su LHS, trasformandolo pian piano in RHS... (applica l'ipotesi induttiva al primo e all'ultimo addendo di LHS... poi vedi che esce e riapplicalo di nuovo a quello che vedi )

[doiug.8]

Mi chiedevo se esiste una motivazione in qualche modo profonda per cui questo vale... insomma, chi ha trovato l'identità come diavolo ha fatto (ma poi "è nota?" (che vuol dir poco... ma insomma... ha un nome? è famosa in qualche strana branca della matematica? ) )

Mi chiedo la stessa cosa?