Il problema 7 a risposta multipla di febbraio 2009... Qua non ho capito bene il testo del problema. Me lo riformulate gentilmente con parole diverse?
Inoltre mi piacerebbe che mi spiegate anche il problema 9 che chiede quanti interi positivi n hanno la proprietà che la loro rappresentazione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di 2n.
Problema febbraio 2009
Re: Problema febbraio 2009
Il problema 7 ti chiede quanti elementi può avere al massimo un insieme di modo che sommando o sottraendo due qualsiasi elementi dell'insieme non si ottiene mai un multiplo di 100.
9)Allora questi due numeri hanno la stessa rappresentazione, quindi hanno entrembi solo le cifre 0 e 1,tutte le cifre 0 valgono 0 possiamo quindi scrivere questi numeri in base 10 come:
$2^{a_1}+2^{a_2}+...+2^{a_n}$ e $3^{a_1}+3^{a_2}+...+3^{a_n}$
dove gli $a_i$ non sono necessariamente consecutivi(gli $a_i$ vanno a decrescere), adesso deve valere che il numero scritto in base 3 deve essere il doppio quindi moltiplichiamo per 2 l'altro e uguagliamo:
$2^{a_1+1}+2^{a_2+1}+...+2^{a_n+1}=3^{a_1}+3^{a_2}+...+3^{a_n}$
Notiamo che $3^n>2^{n+1}$ per n>1.
Adesso quindi vediamo che un numero della prima forma(cioè quello in base due), può essere maggiore dell'altro al massimo di 2, ($2^1+2^2$ e $3^0+3^1$) e notiamo anche che se ci fosse anche una terza potenza $3^3$ sarebbe maggiore di $2^4$ di 11, quindi il secondo sarebbe sicuramente maggiore e non ci sarebbe uguaglianza, quindi gli $a_i$ arrivano al massimo a 2.
Adesso abbiamo solo 4 possibilità e si vede subito che l'uniche sono $2^3+2^1=3^2+3^0$ e $2^3+2^2=3^2+3^1$.
9)Allora questi due numeri hanno la stessa rappresentazione, quindi hanno entrembi solo le cifre 0 e 1,tutte le cifre 0 valgono 0 possiamo quindi scrivere questi numeri in base 10 come:
$2^{a_1}+2^{a_2}+...+2^{a_n}$ e $3^{a_1}+3^{a_2}+...+3^{a_n}$
dove gli $a_i$ non sono necessariamente consecutivi(gli $a_i$ vanno a decrescere), adesso deve valere che il numero scritto in base 3 deve essere il doppio quindi moltiplichiamo per 2 l'altro e uguagliamo:
$2^{a_1+1}+2^{a_2+1}+...+2^{a_n+1}=3^{a_1}+3^{a_2}+...+3^{a_n}$
Notiamo che $3^n>2^{n+1}$ per n>1.
Adesso quindi vediamo che un numero della prima forma(cioè quello in base due), può essere maggiore dell'altro al massimo di 2, ($2^1+2^2$ e $3^0+3^1$) e notiamo anche che se ci fosse anche una terza potenza $3^3$ sarebbe maggiore di $2^4$ di 11, quindi il secondo sarebbe sicuramente maggiore e non ci sarebbe uguaglianza, quindi gli $a_i$ arrivano al massimo a 2.
Adesso abbiamo solo 4 possibilità e si vede subito che l'uniche sono $2^3+2^1=3^2+3^0$ e $2^3+2^2=3^2+3^1$.
Re: Problema febbraio 2009
Quali 2 numeri? Che rappresentazione?Allora questi due numeri hanno la stessa rappresentazione
in base 3 le cifre possono anche assumere come valore 2.quindi hanno entrembi solo le cifre 0 e 1
Poi sotto nel tuo esempio mancano i coefficienti... Tu dici tipo 2^a1+... Ma dovresti dire n *2^a1, infatti se ho il numero 1002 in decimale è 1 per 2^3 + 2. Forse ho capito male io?
A cosa ci serve questa informazione?può essere maggiore dell'altro al massimo di 2
il primo forse vuoi dire...quindi il secondo sarebbe sicuramente maggiore
Io ne conto 7: 3^0, 3^1, 3^2, 3^0+3^1+3^2, 3^0+3, 3+ 3^2 e 3^2+3^0, perchè sono 4?Adesso abbiamo solo 4 possibilità
Re: Problema febbraio 2009
OK, me lo pupi spiegare perfavore?Il problema 7 ti chiede quanti elementi può avere al massimo un insieme di modo che sommando o sottraendo due qualsiasi elementi dell'insieme non si ottiene mai un multiplo di 100.
Re: Problema febbraio 2009
Dovresti ragionare un po' prima di chiedere....se no non serve a niente.
Quali due numeri? Ma l'hai letto il testo del problema?
Quanti interi positivi n hanno la propriet`a che la loro rappresentazione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di 2n?
Credo tu sappia che in una certa base un numero(intero) ha una sola rappresentazione, quindi quando dico questi due numeri, intendo due numeri che hanno tale proprietà, cioè il numero n e il numero 2n, che si rappresentano rispettivamente nello stesso modo in base 2 e 3.
Cosa significa che hanno la stessa rappresentazione? Che sono scritti nello stesso modo, con le stesse cifre e lo stesso ordine, come 13546 e 13546 non puoi riconoscere che sono due numeri diversi se non si esplicita la base in cui sono scritti. Siccome in base 2 le cifre sono solo 0 e 1, e questi due numeri hanno la stessa rappresentazione, allora anche in base 3 dovrà avere solamente le cifre 0 e 1.
Mancano i coefficienti? No, se il coefficiente 0, vale tutto 0 quindi non lo scrivo, il coefficiente 1 credo sia noto che viene omesso.
Ci serve per vedere che se i due numeri hanno 3 cifre, allora quello in base 3 è sicuramente maggiore dell'altro quindi non possono essere uguali.
Si le possibilità sarebbero 7 ma quelli ad una cifra li escludi subito perchè quello in base 3 è sempre dispari mentre l'altro è sempre pari, quindi sono ovviamente diversi.
Per l'altro problema bisogna fare delle considerazioni importanti:
Ai fini del problema tutti i numeri maggiori di 100 possono essere sostituiti con un corrispondente minore o uguale a 100, poichè se abbiamo il numero $n\cdot100+a$ con $a<100$ questo ha le stesse proprietà del numero a, poichè si ottiene un multplo di 100 sommandolo con $n\cdot100-a$ e sottraendolo a $n\cdot100+a$ l'unica differenza è la possibilità si sottrarre a ad uno dei due ma non all'altro ma questa proprietà è a "sfavore" del numero maggiore di 100, quindi possiamo in ogni caso dedurre che tra tutti gli insiemi con numero di elementi massimo ce n'è sicuramente uno che ha tutti gli elementi minori di 100.
Quindi assunto che tutti siano minori di 100, notiamo subito che quando inseriamo nell'insieme un numero a, non potremo mettere il numero 100-a, abbiamo quindi che se includiamo anche lo 0 possiamo inserire al massimo 51 elementi, lo 0 non possiamo metterlo pochè non è positivo, ma per il ragionamento precedente possiamo sostituirlo con 100.
Nel secondo sono stato un po' contorto, forse ho fatto anche passaggi inutili perchè ho fretta ma si dovrebe capire.
Quali due numeri? Ma l'hai letto il testo del problema?
Quanti interi positivi n hanno la propriet`a che la loro rappresentazione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di 2n?
Credo tu sappia che in una certa base un numero(intero) ha una sola rappresentazione, quindi quando dico questi due numeri, intendo due numeri che hanno tale proprietà, cioè il numero n e il numero 2n, che si rappresentano rispettivamente nello stesso modo in base 2 e 3.
Cosa significa che hanno la stessa rappresentazione? Che sono scritti nello stesso modo, con le stesse cifre e lo stesso ordine, come 13546 e 13546 non puoi riconoscere che sono due numeri diversi se non si esplicita la base in cui sono scritti. Siccome in base 2 le cifre sono solo 0 e 1, e questi due numeri hanno la stessa rappresentazione, allora anche in base 3 dovrà avere solamente le cifre 0 e 1.
Mancano i coefficienti? No, se il coefficiente 0, vale tutto 0 quindi non lo scrivo, il coefficiente 1 credo sia noto che viene omesso.
Ci serve per vedere che se i due numeri hanno 3 cifre, allora quello in base 3 è sicuramente maggiore dell'altro quindi non possono essere uguali.
Si le possibilità sarebbero 7 ma quelli ad una cifra li escludi subito perchè quello in base 3 è sempre dispari mentre l'altro è sempre pari, quindi sono ovviamente diversi.
Per l'altro problema bisogna fare delle considerazioni importanti:
Ai fini del problema tutti i numeri maggiori di 100 possono essere sostituiti con un corrispondente minore o uguale a 100, poichè se abbiamo il numero $n\cdot100+a$ con $a<100$ questo ha le stesse proprietà del numero a, poichè si ottiene un multplo di 100 sommandolo con $n\cdot100-a$ e sottraendolo a $n\cdot100+a$ l'unica differenza è la possibilità si sottrarre a ad uno dei due ma non all'altro ma questa proprietà è a "sfavore" del numero maggiore di 100, quindi possiamo in ogni caso dedurre che tra tutti gli insiemi con numero di elementi massimo ce n'è sicuramente uno che ha tutti gli elementi minori di 100.
Quindi assunto che tutti siano minori di 100, notiamo subito che quando inseriamo nell'insieme un numero a, non potremo mettere il numero 100-a, abbiamo quindi che se includiamo anche lo 0 possiamo inserire al massimo 51 elementi, lo 0 non possiamo metterlo pochè non è positivo, ma per il ragionamento precedente possiamo sostituirlo con 100.
Nel secondo sono stato un po' contorto, forse ho fatto anche passaggi inutili perchè ho fretta ma si dovrebe capire.
Re: Problema febbraio 2009
Nel primo continuo a non capire cosa serve dire che può essere maggiore dell'altro al massiomo di 2. Del secodo problema non ci ho capito nulla.
Re: Problema febbraio 2009
Olivo3, non mi sembra che il tuo contributo alla discussione sia particolarmente costruttivo, né particolarmente cortese:
per quanto riguarda l'altra parte del messaggio:
infine, due appunti generali: a me personalmente (e immagino a molti altri utenti) non piace dover andare a spulciare in giro su qualche file/qualche altro sito per seguire un thread, e preferirei (preferiremmo?) che tu scrivessi il testo del problema. inoltre, è buona norma aprire un thread per problema.
ora che hai capito il testo (?), prova a riguardarti la soluzione ufficiale, prova a rileggerti la soluzione (magari non perfetta, magari non chiarissima) di Claudio., e prova a rifletterci su un po'. se ancora non ti torna, vieni qui con domande formulate in modo preciso e cortese, e qualcuno ti risponderà.Olivo3 ha scritto:Del secodo problema non ci ho capito nulla.
per quanto riguarda l'altra parte del messaggio:
quest'osservazione mi sembra inutile (quantomeno, mi pare che Claudio. non la usi nella sua soluzione. Claudio.: correggimi se sbaglio.)Olivo3 ha scritto:Nel primo continuo a non capire cosa serve dire che può essere maggiore dell'altro al massiomo di 2.
infine, due appunti generali: a me personalmente (e immagino a molti altri utenti) non piace dover andare a spulciare in giro su qualche file/qualche altro sito per seguire un thread, e preferirei (preferiremmo?) che tu scrivessi il testo del problema. inoltre, è buona norma aprire un thread per problema.
Re: Problema febbraio 2009
Era un modo semplice per dire che poichè per n>1 $3^n>2^{n+1}$ e poichè $3^3+3+1>2^4+2^2+2$ allora gli $a_i$ arrivano al massimo a 2.
Per il secondo problema l'idea base è che se prendi valori minori o maggiori di 100 è la stessa cosa, ed è la stessa cosa anche se prendi elementi sparsi o consecutivi.
Quindi se inizia a fare questo insieme da 1, metti l'1 e non puoi mettere il 99, metti il 2 e non puoi mettere il 98, e così via
ovviamente arrivi a 50 e non puoi metterne più(neanche maggiori di 100), puoi mettergli il 100, poichè sommandolo con qualsiasi numero non multiplo di 100 non farà mai un multiplo di 100 quindi al massimo 51 elementi. Ovviamente bisognerebbe dimostrare questi fatti, ma è semplice, forse in quello che ho scritto prima c'è qualche imperfezione, oppure va sistemata la descrizione sopratutto del fatto della convenienza dei minori di 100 che non va bene affatto
ma in generale è tutto lì.
Per il secondo problema l'idea base è che se prendi valori minori o maggiori di 100 è la stessa cosa, ed è la stessa cosa anche se prendi elementi sparsi o consecutivi.
Quindi se inizia a fare questo insieme da 1, metti l'1 e non puoi mettere il 99, metti il 2 e non puoi mettere il 98, e così via
ovviamente arrivi a 50 e non puoi metterne più(neanche maggiori di 100), puoi mettergli il 100, poichè sommandolo con qualsiasi numero non multiplo di 100 non farà mai un multiplo di 100 quindi al massimo 51 elementi. Ovviamente bisognerebbe dimostrare questi fatti, ma è semplice, forse in quello che ho scritto prima c'è qualche imperfezione, oppure va sistemata la descrizione sopratutto del fatto della convenienza dei minori di 100 che non va bene affatto
ma in generale è tutto lì.