a^2+b^2=c^2+3
a^2+b^2=c^2+3
Dimostrare che l'equazione $ a^2+b^2=c^2+3 $ ha infinite terne di soluzioni intere $ (a,b,c) $.
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
-
paga92aren
- Messaggi: 358
- Iscritto il: 31 lug 2010, 10:35
Re: a^2+b^2=c^2+3
Noto che le terne (2,0,1) e (6,4,7) funzionano.
Quindi impongo che $c=a+1$ e controllo che esistono infinite soluzioni di questo tipo:
$b^2=2a+4$ e modulo 4 si vede che $a$ e $b$ sono pari. $a=2n$ e $b=2m$ e ottengo la relazione $m^2=n+1$ che è soddisfatta per infiniti valori di (n,m) (infatti scelto $m\not =0$ esiste un $n$ che soddisfa la condizione) da cui ottengo le terne $(2n,2m,2n+1)$ con $m^2=n+1$.
Infine controllo che le terne soddisfino la condizione iniziale: $4n^2+4n+4=4m^2+4m+1+3$
Quindi impongo che $c=a+1$ e controllo che esistono infinite soluzioni di questo tipo:
$b^2=2a+4$ e modulo 4 si vede che $a$ e $b$ sono pari. $a=2n$ e $b=2m$ e ottengo la relazione $m^2=n+1$ che è soddisfatta per infiniti valori di (n,m) (infatti scelto $m\not =0$ esiste un $n$ che soddisfa la condizione) da cui ottengo le terne $(2n,2m,2n+1)$ con $m^2=n+1$.
Infine controllo che le terne soddisfino la condizione iniziale: $4n^2+4n+4=4m^2+4m+1+3$
Re: a^2+b^2=c^2+3
Potevi dire $ (2x^2-2)^2+(2x)^2=(2x^2-1)^2+3 $ 
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: a^2+b^2=c^2+3
O senza notare niente che funzioni $(b+c)(b-c)=3-a^2$ poni $b+c=1$ e $b-c=3-a^2$ e trovi $(2k,2-2k^2,2k^2-1)$
Re: a^2+b^2=c^2+3
[quote="LukasEta"]Dimostrare che l'equazione [tex]a^2+b^2=c^2+3[/tex] ha infinite terne di soluzioni intere [tex](a,b,c)[/tex].[/quote]
Lemma banale
Ogni numero dispari può essere scritto come differenza di due quadrati.
Ponendo [tex]\displaystyle c=b+1[/tex]:
[tex]\displaystyle c^2-b^2=b^2+1+2b-b^2=2b+1[/tex]
Sia [tex]\displaystyle a[/tex] un numero pari qualsiasi, allora [tex]\displaystyle a^2-3[/tex] è sempre dispari e quindi esistono [tex]\displaystyle b[/tex] e [tex]\displaystyle c[/tex] tali che [tex]\displaystyle a^2-3=c^2-b^2[/tex]. I numeri pari sono infiniti e quindi esistono infinite terne di interi che soddisfano l'equazione.
Lemma banale
Ogni numero dispari può essere scritto come differenza di due quadrati.
Ponendo [tex]\displaystyle c=b+1[/tex]:
[tex]\displaystyle c^2-b^2=b^2+1+2b-b^2=2b+1[/tex]
Sia [tex]\displaystyle a[/tex] un numero pari qualsiasi, allora [tex]\displaystyle a^2-3[/tex] è sempre dispari e quindi esistono [tex]\displaystyle b[/tex] e [tex]\displaystyle c[/tex] tali che [tex]\displaystyle a^2-3=c^2-b^2[/tex]. I numeri pari sono infiniti e quindi esistono infinite terne di interi che soddisfano l'equazione.