Somma delle radici dell'unità

[Il_Russo]

Dimostrare, nel maggior numero possibile di modi, che per $n>1$ la somma delle radici n-esime dell'unità è 0.

Bonus (ovvero "sempre attenti alle ipotesi: può salvarvi la vita"). Per $n=1$ la somma è ovviamente 1. In ciascuna dimostrazione, indicare in maniera precisa dove si usa l'ipotesi $n>1$.

Buon $lavoro^3$

[Mist]

Dai, ci provo io che con i numeri complessi non mi sono mai mostrato al pubblico...
Allora la prima cosa da fare è ricordare che rappresentando le radici nel piano di Gauss si ottiene un poligono regolare con centro in (0,0) e un vertice in 1. Bon, si nota quindi che la parte immaginaria della somma delle radici n-esime dell'unità ( detta $\sum$) è zero in quanto per ogni radice esiste il suo coniugato. Ora, sempre appellandosi alla fgura si nota che $Re(\sum ) = \sum_{r=1}^{n} \cos{\frac{r \pi}{n}} = \sum_{r=1}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }\cos{\frac{r \pi}{n}}+\sum_{r=1}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }\cos{(\frac{r \pi}{n}+\pi ) }$ $= \sum_{r=1}^{n} \cos{\frac{r \pi}{n}} = \sum_{r=1}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }\cos{\frac{r \pi}{n}}$ $- \sum_{r=1}^{n} \cos{\frac{r \pi}{n}} = \sum_{r=1}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }\cos{\frac{r \pi}{n}} = 0$ ed ecco la tesi.

[jordan]

Dato un polinomio $ p(x):=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1x+a_0 $ con radici $ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{C} $ vale $ \displaystyle \sum_{1\le i\le k}{\alpha_i}=-\frac{a_{k-1}}{a_k} $.
Ponendo $ k=n $, $ a_n=-a_0=1 $, $ a_{n-1}=a_{n-2}=\ldots=a_1=0 $ si ha la tesi.

[Il_Russo]

Mist: sei sicuro di quello che hai scritto (poi magari sono io che ho letto male)? Le radici dell'unità sono $e^{i\frac{2r\pi}{n}}$, o $\cos{\frac{2r\pi}{n}} + i \sin{\frac{2r\pi}{n}}$ per $r = 1, \ldots, n$.
Bene, ma poco, Jordan; il post infatti era inteso per ragazzi che fanno i primi passi con i numeri complessi.
Altre soluzioni?

[Mist]

Mist: sei sicuro di quello che hai scritto (poi magari sono io che ho letto male)? Le radici dell'unità sono $e^{i\frac{2r\pi}{n}}$, o $\cos{\frac{2r\pi}{n}} + i \sin{\frac{2r\pi}{n}}$ per $r = 1, \ldots, n$.
Bene, ma poco, Jordan; il post infatti era inteso per ragazzi che fanno i primi passi con i numeri complessi.
Altre soluzioni?

Ecco, io sono uno di quelli, e in quanto tale ho fatto un ragionamento molto intuitivo... Cioè, se tu ti rappresenti sul piano di Gauss quei numeri complessi lì viene fuori un poligono reolgare con centro in 0 e un vertice in 1 no ? Ecco, ora chiamo il punto 1 $\omega _0$ e vado a numerare le varie radici in senso antiorario. Ora, $\omega _1$ è ruotata di $\frac{\pi }{n}$ gradi rispetto alla retta costituita dai punti con parte immaginaria pari a 0 ed, essendo la distanza di questo punto da 0 pari a 1, si ha quindi che la parte reale di $\omega _1$ $= \cos{ \frac{ \pi}{n}}$. Ripetendo lo stesso ragionamento per ogni altro omega successivo, si somma e si ottiene la tesi come fatto sopra.

Vi conviene fare il grafico per capire bene...

[ma_go]

Ora, $\omega _1$ è ruotata di $\frac{\pi }{n}$ gradi rispetto alla retta costituita dai punti con parte immaginaria pari a 0 [...]

ne siamo proprio sicuri? quant'è un angolo giro?

[Mist]

Che figura di........

Ok, finisco con Dante e poi vedo se si può aggiustare la soluzione

[Sonner]

Propongo la soluzione (geometrica) che mi era venuta in mente quella sera KK

Prendo un n-gono regolare $ A_1A_2...A_n $e traslo ogni vettore $ OA_i $ in modo che la sua origine coincida traslato di $ A_{i-1} $. Allora chiaramente ho creato un n-gono regolare e il vettore somma dei vettori corrispondenti ai lati è nullo.

Ma perchè si chiude? Supponiamo che non si chiuda, allora prendo l'n-gono "vero" con un lato coincidente con $ OA_1 $ e con i lati lunghi 1. Allora questo coincide con quello di partenza, infatti i lati son tutti congruenti e gli angoli pure (un angolo esterno vale $ \frac{2\pi}{n} $ in entrambi i casi). C'è un modo più ovvio che mi è sfuggito?

[ma_go]

questo thread si sta vagamente intrecciando con un altro thread in geometria, mi pare il caso di allacciarli in qualche modo.
comunque, o propositore, questa gara è aperta anche a soluzioni non elementari? perché ce ne sono un paio di carine..

[Il_Russo]

Proponi pure. Io intanto do' un paio di idee per soluzioni elementari.

La prima è un'idea che può tornare utile, con delle modifiche, anche in altri casi. Moltiplichiamo la somma in questione per una radice n-esima dell'unità che non sia 1 (qui uso l'ipotesi). Cosa succede?

La seconda funziona solo in questo caso: $x^n-1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$. Come devo scegliere $x$ per cavarne qualcosa di utile?

[ma_go]

prima, altre due idee elementari:
1. serie geometrica!
2. per $n$ pari è ovvio (le radici sono a coppie), prendiamo $n$ dispari, una radice $2n$-esima primitiva $\omega$. la somma delle potenze dispari di $\omega$ è l'opposto della somma delle potenze pari, ed è pure $\omega$ volte la stessa somma, stop

per le soluzioni non elementari do solo uno sketch:
soluzione numero uno - la complessa:

Testo nascosto:

a meno una costante, i residui di $\frac{1}{z^n-1}$ alle radici dell'unità sono le radici dell'unità, e se $n>1$ non ci sono altri poli. $\frac{1}{z-1}$ ha un polo all'infinito, quindi il ragionamento non funziona.

chiaramente la soluzione numero uno ammette innumerevoli variazioni -suppongo-, variando la funzione.

soluzione numero due - l'eroica:

Testo nascosto:

questa la scrivo per $n=p$ primo, da cui si può partire per induzione sul numero di fattori primi.
- $\Omega = \sum \omega$ è una somma di interi algebrici, quindi è un intero algebrico.
- $\Omega$ è invariante per automorfismi del campo $\mathbb{Q}(\omega)$, quindi è razionale.
quindi $\Omega$ è intero.
$\Omega^p = \sum \omega^p + p\Omega'$, con $\Omega'$ intero (perché somma di interi algebrici, e differenza di due razionali, più o meno come prima), quindi $\Omega$ è divisibile per $p$. (*) il $p$ davanti ad $\Omega'$ viene dallo sviluppo multinomiale.
ora, $\Omega$ è una somma di numeri complessi distinti ($p$ primo, quindi maggiore di 1, quindi ci sono almeno due radici distinte nella somma) di modulo unitario, quindi la loro somma ha modulo strettamente minore di $p$, quindi $\Omega = 0$.

il punto (*) nell'eroica si può dimostrare in altri modi, poi si prosegue nello stesso modo:

Testo nascosto:

ad esempio, dimostrando che la riduzione $\mod p$ delle radici dell'unità è $1$, quindi la loro somma è $0 \mod p$.