Nel libro di Hardy e Wright c'è un teorema che afferma $ \displaystyle\sum_{d\mid m} \phi(d)=m $. Nella dimostrazione viene scritto quanto segue $$ \sum_{d\mid m} \phi(d)=\sum_{p,{c_1}}\prod \phi(p^{c_1})=\prod_{p} \{1+\phi(p)+\phi(p^2)+...+\phi(p^c)\}$$ dove $d=\prod p^{c_1}$ e $m=\prod p^c$.
Io non ho capito l'ultima uguaglianza.Sapreste spiegarmela,magari con qualche passaggio in più?
Chiarimento su una particolare somma
Chiarimento su una particolare somma
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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Re: Chiarimento su una particolare somma
è un'applicazione della distributività: il fatto chiave è che gli indici su cui variano $p$ e $c_1$ sono indipendenti.
una versione (molto) baby dovrebbe essere questa:
$\displaystyle\sum_{i,j} a_ib_j = \left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right)$.
se non sei convinto, prova a scriverti la somma per -che ne so-, n=6,12,18,24,30 e vedi che succede.
[mini-divagazione]: questa cosa si può dire in modo più breve usando un altro linguaggio (vedi qui, con la cautela che va presa leggendo i messaggi di hitleuler), dicendo che "la convoluzione di due funzioni moltiplicative è moltiplicativa".
e qui va definita la convoluzione $f*g(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\frac{n}{d})$.
per inciso, c'è una dimostrazione molto più elegante, dell'identità $\sum\phi(d) = n$:
una versione (molto) baby dovrebbe essere questa:
$\displaystyle\sum_{i,j} a_ib_j = \left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right)$.
se non sei convinto, prova a scriverti la somma per -che ne so-, n=6,12,18,24,30 e vedi che succede.
[mini-divagazione]: questa cosa si può dire in modo più breve usando un altro linguaggio (vedi qui, con la cautela che va presa leggendo i messaggi di hitleuler), dicendo che "la convoluzione di due funzioni moltiplicative è moltiplicativa".
e qui va definita la convoluzione $f*g(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\frac{n}{d})$.
per inciso, c'è una dimostrazione molto più elegante, dell'identità $\sum\phi(d) = n$:
Testo nascosto:
Re: Chiarimento su una particolare somma
Grazie,ora è molto più chiara la situazione,ma il libro dice che è per la moltiplicatività(e quello lo avevo già capito).
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
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continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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Re: Chiarimento su una particolare somma
ok, quindi la risposta è contenuta nella mia mini-divagazione (che di per sé costituisce un buon esercizio).