Abbiamo un n-agono regolare con vertici A1,A2,..,An e O è il centro della circonferenza circoscritta. Quando A1+A2+...+An=O(in quest'ultima uguaglianza per Ai intendo il vettore Ai)?
Grazie
n-agono regolare
Re: n-agono regolare
Sempre! 
viewtopic.php?f=13&t=15510, nell'ultimo post ho messo una dimostrazione geometrica (anche se nessuno mi ha ancora detto niente, ma a me sembrerebbe OK).
viewtopic.php?f=13&t=15510, nell'ultimo post ho messo una dimostrazione geometrica (anche se nessuno mi ha ancora detto niente, ma a me sembrerebbe OK).
Re: n-agono regolare
la dimostrazione nell'altro thread è giusta (a occhio), ma la risposta a questo thread non lo è: dove sta l'errore?
Re: n-agono regolare
non mi ero accorto che ci fosse un post cosi recente e attinente..
Cmq cosa intendi per "in modo che l'origine coincida traslato di Ai?
Cmq mi è venuta in mente una dimostrazione algebrica!forse la posto.
E se uno invece volesse fare il furbo dicendo che il vettore somma deve essere nullo xk la figura rimane se stessa per qualsiasi rotazione attorno ad O? In un certo senso " nn c'e motivo per il quale il vettore somma debba spuntare da puntare da una parte piuttosto k da un altra.."
Un ' altra cosa k è off topic, se ho un segmento AB e voglio calcolare AB^4 posso fare (B-A)^4 con B ed A vettori e svolgere i calcoli normalmente(avrei un problema se fosse AB^3 credo..)? Mi pare di si. ma non mi tornano i conti con un esercizio..
Cmq cosa intendi per "in modo che l'origine coincida traslato di Ai?
Cmq mi è venuta in mente una dimostrazione algebrica!forse la posto.
E se uno invece volesse fare il furbo dicendo che il vettore somma deve essere nullo xk la figura rimane se stessa per qualsiasi rotazione attorno ad O? In un certo senso " nn c'e motivo per il quale il vettore somma debba spuntare da puntare da una parte piuttosto k da un altra.."
Un ' altra cosa k è off topic, se ho un segmento AB e voglio calcolare AB^4 posso fare (B-A)^4 con B ed A vettori e svolgere i calcoli normalmente(avrei un problema se fosse AB^3 credo..)? Mi pare di si. ma non mi tornano i conti con un esercizio..
Re: n-agono regolare
giusto per fare il pignolo e rompiscatole (come ultimamente mi capita abbastanza spesso di fare), teniamo ben distinti i due concetti di "vettore" e "numero complesso": per un numero complesso, ha ben senso considerare la sua quarta potenza, per un vettore invece no.
inoltre -e questo è il nocciolo del mio commento precedente- per sommare vettori bisogna fissare un'origine (mentre per sottrarre due vettori, in un certo senso, non è così strettamente necessario; inoltre, fare la media di tanti vettori è ben definito, anche senza bisogno di un'origine), mentre i numeri complessi, per definizione, hanno un'origine privilegiata (lo zero).
notare come, nell'ultima frase, ho provveduto io stesso a confondere i due concetti..
comunque, la tua soluzione con le rotazioni è quasi perfetta: la figura non è simmetrica rispetto a tutte le rotazioni, ma solo rispetto alle rotazioni di angoli multipli di $2\pi/n$. per $n\ge2$ questo è più che sufficiente a dimostrare che il punto che cerchi è $O$, quindi non c'è problema.
adesso, siccome la cosa ti piace tanto, traduci la tua dimostrazione nel linguaggio dei numeri complessi (dove è cristallina), e correggi l'enunciato di modo che sia sempre vero (scritto così, sembra ambientato nel mondo dei vettori, e non nel mondo dei complessi).
inoltre -e questo è il nocciolo del mio commento precedente- per sommare vettori bisogna fissare un'origine (mentre per sottrarre due vettori, in un certo senso, non è così strettamente necessario; inoltre, fare la media di tanti vettori è ben definito, anche senza bisogno di un'origine), mentre i numeri complessi, per definizione, hanno un'origine privilegiata (lo zero).
notare come, nell'ultima frase, ho provveduto io stesso a confondere i due concetti..
comunque, la tua soluzione con le rotazioni è quasi perfetta: la figura non è simmetrica rispetto a tutte le rotazioni, ma solo rispetto alle rotazioni di angoli multipli di $2\pi/n$. per $n\ge2$ questo è più che sufficiente a dimostrare che il punto che cerchi è $O$, quindi non c'è problema.
adesso, siccome la cosa ti piace tanto, traduci la tua dimostrazione nel linguaggio dei numeri complessi (dove è cristallina), e correggi l'enunciato di modo che sia sempre vero (scritto così, sembra ambientato nel mondo dei vettori, e non nel mondo dei complessi).
Re: n-agono regolare
Ho capito cosa intendi.
Dunque, l'enunciato corretto dovrebbe essere: ho un n-agono regolare con vertici a1,a2,...,an e centro O. Se l'origine è O allora a1+a2+...+an=O. Dovrebbe essere vero anche il contrario ma ci torno su domani..
Per la dimostrazione chiamo S=a1+a2+...+an allora S*e^(i(2pi/n))=S. Dunque S=O. piu facile del previsto..hehe
Tornando alla questione delle quarte potenze. non ho capito se vale l'uguaglianza AB^4(intendo il modulo)=(B-A)^4=B^4-4B^3A+...+A^4(con A e B vettori). Dimmi dove sbaglio. Io considero (B-A)^4 come un doppio prodotto scalare((B-A)(B-A) e (B-A)(B-A)) e quindi penso di avere un prodotto tra due scalari che mi da uno scalare(AB^4 appunto).
Grazie!
Dunque, l'enunciato corretto dovrebbe essere: ho un n-agono regolare con vertici a1,a2,...,an e centro O. Se l'origine è O allora a1+a2+...+an=O. Dovrebbe essere vero anche il contrario ma ci torno su domani..
Per la dimostrazione chiamo S=a1+a2+...+an allora S*e^(i(2pi/n))=S. Dunque S=O. piu facile del previsto..hehe
Tornando alla questione delle quarte potenze. non ho capito se vale l'uguaglianza AB^4(intendo il modulo)=(B-A)^4=B^4-4B^3A+...+A^4(con A e B vettori). Dimmi dove sbaglio. Io considero (B-A)^4 come un doppio prodotto scalare((B-A)(B-A) e (B-A)(B-A)) e quindi penso di avere un prodotto tra due scalari che mi da uno scalare(AB^4 appunto).
Grazie!
Re: n-agono regolare
(il forum delle olimpiadi... che nostalgia!)
Ho pensato a questa soluzione che non usa i numeri complessi: (giusto per vedere quanto mi hanno arrugginito 4 anni di medicina)
Se n è pari: posso accoppiare i vettori opposti a due a due, che avranno uguale direzione e intensità, e verso opposto. La somma è 0.
Se n è dispari voglio calcolare
a_1 + a_2 +....+ a_n
Prendo un vettore a caso, diciamo a_1 e faccio il prodotto vettoriale:
a_1 X (a_1 + a_2 +...+ a_n)
distribuisco e viene:
(a_1 X a_1) + (a_1 X a_2) + ....+ (a_1 X a_n)
quanto fa questa somma? so che:
a_1 X a_1 = 0
inoltre, le coppie di vettori [a_2, a_n], [a_3, a_n-1], [a_4, a_n-2]....,[a_(n+1)/2, a_(n+3)/2]
formano angoli uguali ed opposti rispetto ad a_1. Il risultato del loro prodotto vettoriale per a_1 saranno dunque coppie di vettori uguali in direzione e intensità e opposti in verso, la cui somma farà 0.
Abbiamo visto quindi che:
(a_1 X a_1) + (a_1 X a_2) + ....+ (a_1 X a_n) = 0
quindi:
a_1 X (a_1 + a_2 +...+ a_n) = 0
Ci sono 2 possibilità
1) a_1 + a_2 +...+ a_n = 0
2) a_1 + a_2 +...+ a_n = w , dove w è un vettore che ha la stessa direzione di a_1
Ma dal momento che, all'inizio a_1 l'abbiamo scelto a caso, possiamo ripetere il prodotto vettoriale per un qualunque a_i, quindi deve essere la 1)
CVD
Ho pensato a questa soluzione che non usa i numeri complessi: (giusto per vedere quanto mi hanno arrugginito 4 anni di medicina)
Se n è pari: posso accoppiare i vettori opposti a due a due, che avranno uguale direzione e intensità, e verso opposto. La somma è 0.
Se n è dispari voglio calcolare
a_1 + a_2 +....+ a_n
Prendo un vettore a caso, diciamo a_1 e faccio il prodotto vettoriale:
a_1 X (a_1 + a_2 +...+ a_n)
distribuisco e viene:
(a_1 X a_1) + (a_1 X a_2) + ....+ (a_1 X a_n)
quanto fa questa somma? so che:
a_1 X a_1 = 0
inoltre, le coppie di vettori [a_2, a_n], [a_3, a_n-1], [a_4, a_n-2]....,[a_(n+1)/2, a_(n+3)/2]
formano angoli uguali ed opposti rispetto ad a_1. Il risultato del loro prodotto vettoriale per a_1 saranno dunque coppie di vettori uguali in direzione e intensità e opposti in verso, la cui somma farà 0.
Abbiamo visto quindi che:
(a_1 X a_1) + (a_1 X a_2) + ....+ (a_1 X a_n) = 0
quindi:
a_1 X (a_1 + a_2 +...+ a_n) = 0
Ci sono 2 possibilità
1) a_1 + a_2 +...+ a_n = 0
2) a_1 + a_2 +...+ a_n = w , dove w è un vettore che ha la stessa direzione di a_1
Ma dal momento che, all'inizio a_1 l'abbiamo scelto a caso, possiamo ripetere il prodotto vettoriale per un qualunque a_i, quindi deve essere la 1)
CVD