Trovare tutte le terne ordinate di numeri interi positivi (p, q, n) tali che p, q siano primi e
p2 + q2 = pqn + 1.
Esercizio dimostrativo
Esercizio dimostrativo
Ragazzi, qualcuno mi può risolvere in maniera più chiara di quella delle soluzioni questo quesito di febbraio 2010?
Re: Esercizio dimostrativo
Allora, porti l'equazioni in questa forma semplicemente spostando i termini:
$ pqn - p^2 = q^2 - 1 $ per cui $ p(qn - p) = (q - 1)(q - 2) $ e infine $ \frac{p(qn - p)}{(q - 1)(q + 1)}=1 $
A questo punto osservi che, se $ p $ è primo, necessariamente o $ p = q - 1 $ o $ p = q + 1 $ (perchè un numero primo può essere divisibile solo per uno e per se stesso. Quindi per far si che la frazione sia uguale ad uno, $ p $ dovrà essere diviso per se stesso, appunto dovrà valere una delle due uguaglianze che ho scritto)
Gli unici numeri primi che si differenziano di una unità sono 2 e 3. Pongo $ p=2 $ e $ q=3 $ e trovo anche $ n=2 $. Pongo $ p=3 $ e $ q=2 $ e trovo sempre $ n=2 $ (perchè è simmetrica)
Spero di essere stato il più chiaro e semplice possibile.
$ pqn - p^2 = q^2 - 1 $ per cui $ p(qn - p) = (q - 1)(q - 2) $ e infine $ \frac{p(qn - p)}{(q - 1)(q + 1)}=1 $
A questo punto osservi che, se $ p $ è primo, necessariamente o $ p = q - 1 $ o $ p = q + 1 $ (perchè un numero primo può essere divisibile solo per uno e per se stesso. Quindi per far si che la frazione sia uguale ad uno, $ p $ dovrà essere diviso per se stesso, appunto dovrà valere una delle due uguaglianze che ho scritto)
Gli unici numeri primi che si differenziano di una unità sono 2 e 3. Pongo $ p=2 $ e $ q=3 $ e trovo anche $ n=2 $. Pongo $ p=3 $ e $ q=2 $ e trovo sempre $ n=2 $ (perchè è simmetrica)
Spero di essere stato il più chiaro e semplice possibile.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]
Re: Esercizio dimostrativo
Dunque...
Grazie
Perchè deve essere divisibile per (q-1) o (q+1)? Capirei il ragionamento se avessi p/(q-1) = 1 (p deve essere divisibile per q-1) ma qua non ho bene capito il motivo (avendo altri termini, infatti p moltiplica qnp e al denominatore abbiamo 2 fattori).A questo punto osservi che, se p è primo, necessariamente o p=q−1 o p=q+1
Grazie
Re: Esercizio dimostrativo
E infatti mi sa che ho sbagliato, perchè avevo fatto un ragionamento dietro un po' più lunghino che non riesco a spiegarti in maniera semplice (sono andato ora a vedere le soluzioni e in maniera più semplice di così non riuscirei a spiegartelo)
quindi adesso ci penso come fare una soluzione più facile ancora e come spiegartela, se riesco te la scrivo.
quindi adesso ci penso come fare una soluzione più facile ancora e come spiegartela, se riesco te la scrivo.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]
Re: Esercizio dimostrativo
Grazie, puoi anche scrivermi la soluzione ufficiale, ma scritta in modo più semplice (con parole diverse)staffo ha scritto:E infatti mi sa che ho sbagliato, perchè avevo fatto un ragionamento dietro un po' più lunghino che non riesco a spiegarti in maniera semplice (sono andato ora a vedere le soluzioni e in maniera più semplice di così non riuscirei a spiegartelo)
quindi adesso ci penso come fare una soluzione più facile ancora e come spiegartela, se riesco te la scrivo.
Re: Esercizio dimostrativo
Allora, arriva fino al punto in cui dico $ \frac{p(qn - p)}{(q - 1)(q + 1)}=1 $
Ora come dice la soluzione ufficiale vedi chiaramente che p e q devono essere diversi.
Ora, sei daccordo che se io, nell'equazione iniziale inverto $ p $ con $ q $ il risultato non cambia (riscrivi sostituendo a p-->q e a q-->p, vedrai che avrai riscritto la stessa cosa). Quando accade ciò si dice che l'equazione è simmetrica nelle variabili p e q. Se è simmetrica, vedrai anche che, se trovo un risultato per $ p=a $ e $ q=b $, allora varrà anche $ p=b $ e $ q=a $. Allora per questo fatto posso porre $ p>q $ (e poi quando troverò una soluzione varrà anche quella per q>p)
A qusto punto (vediamo se riesco a spiegarlo in parole semplici e comprensibili) sappiamo che p al numeratore se ne deve andare in qualche modo per ottenere uno, e l'unico modo per dividere un numero primo e ottenere uno è dividerlo per se stesso.
quindi devo trovare all'interno di o $ (q-1) $ o $ (q+1) $questo p nei loro fattori (devi vedere come p non sia fattorizzabile poichè è primo e capire bene questo punto)
arrivi dunque a dire che o $ p $ divide $ (q-1) $, il che è inpossibile, in quanto $ p>q $, oppure p divide $ (q+1) $. essendo però $ p>q $ è facile verificare che l'unico p maggiore di q che divide q+1 è $ q=3 $, con $ q=2 $ (proprio perchè la differenza tra due primi è sempre maggiore o uguale ad uno, fatta eccezione per i primi 2 e 3)
Risolvi poi e trovi n. Per l'ipotesi che abbiamo messo all'inizio, in cui dicevamo che, se p=a e q=b, allora anche p=b e q=a è soluzione, troviamo le due soluzioni che ho scritto nel post precedente (spero di essere stato chiaro, più chiaro di coì non riuscirei)
P.S. nella mia soluzione di prima mi ero dimenticato l'ipotesi p>q
Ora come dice la soluzione ufficiale vedi chiaramente che p e q devono essere diversi.
Ora, sei daccordo che se io, nell'equazione iniziale inverto $ p $ con $ q $ il risultato non cambia (riscrivi sostituendo a p-->q e a q-->p, vedrai che avrai riscritto la stessa cosa). Quando accade ciò si dice che l'equazione è simmetrica nelle variabili p e q. Se è simmetrica, vedrai anche che, se trovo un risultato per $ p=a $ e $ q=b $, allora varrà anche $ p=b $ e $ q=a $. Allora per questo fatto posso porre $ p>q $ (e poi quando troverò una soluzione varrà anche quella per q>p)
A qusto punto (vediamo se riesco a spiegarlo in parole semplici e comprensibili) sappiamo che p al numeratore se ne deve andare in qualche modo per ottenere uno, e l'unico modo per dividere un numero primo e ottenere uno è dividerlo per se stesso.
quindi devo trovare all'interno di o $ (q-1) $ o $ (q+1) $questo p nei loro fattori (devi vedere come p non sia fattorizzabile poichè è primo e capire bene questo punto)
arrivi dunque a dire che o $ p $ divide $ (q-1) $, il che è inpossibile, in quanto $ p>q $, oppure p divide $ (q+1) $. essendo però $ p>q $ è facile verificare che l'unico p maggiore di q che divide q+1 è $ q=3 $, con $ q=2 $ (proprio perchè la differenza tra due primi è sempre maggiore o uguale ad uno, fatta eccezione per i primi 2 e 3)
Risolvi poi e trovi n. Per l'ipotesi che abbiamo messo all'inizio, in cui dicevamo che, se p=a e q=b, allora anche p=b e q=a è soluzione, troviamo le due soluzioni che ho scritto nel post precedente (spero di essere stato chiaro, più chiaro di coì non riuscirei)
P.S. nella mia soluzione di prima mi ero dimenticato l'ipotesi p>q
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]
Re: Esercizio dimostrativo
Problema. Trovare tutti le triple $ (p,q,n)\in \mathbb{P}^2\times \mathbb{N} $ tali che $ p^2+q^2=pqn+1 $.
(Può un moderatore di passaggio di spostare questo thread in teoria dei numeri?) --- Fatto: ma_go.
Soluzione. Il problema è simmetrico in $ p,q $ per cui assumiamo $ p\ge q $.
Se $ p=q $ allora $ (2-n)p^2=1 $ chiaramente non ha soluzione.
Se $ q=2 $ allora $ (p-n)^2+3=n^2 $, e gli unici quadrati che differiscono di $ 3 $ sono $ 1 $ e $ 4 $ da cui la terna $ (p,q,n)=(3,2,2) $.
Resta il caso $ p>q>2 $, ma deve essere verificato $ p\mid p(qn-p)=(q+1)(q-1) $ che è impossibile dal momento che $ p\ge q+2 $ poichè entrambi dispari.
(Può un moderatore di passaggio di spostare questo thread in teoria dei numeri?) --- Fatto: ma_go.
Soluzione. Il problema è simmetrico in $ p,q $ per cui assumiamo $ p\ge q $.
Se $ p=q $ allora $ (2-n)p^2=1 $ chiaramente non ha soluzione.
Se $ q=2 $ allora $ (p-n)^2+3=n^2 $, e gli unici quadrati che differiscono di $ 3 $ sono $ 1 $ e $ 4 $ da cui la terna $ (p,q,n)=(3,2,2) $.
Resta il caso $ p>q>2 $, ma deve essere verificato $ p\mid p(qn-p)=(q+1)(q-1) $ che è impossibile dal momento che $ p\ge q+2 $ poichè entrambi dispari.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Esercizio dimostrativo
Perchè?Ora come dice la soluzione ufficiale vedi chiaramente che p e q devono essere diversi.
Perchè è impossibile? Forse è il contrario. Se io p>q e gli assegno il valore 6, poi assegno a q il valore 3, è facile intuire che 6 divide 2.o p divide (q−1), il che è inpossibile, in quanto p>q
Re: Esercizio dimostrativo
Yes, ma se vedi, staffo aveva prima imposto senza perdita di generalità che p>q,e quindi quello è un assurdo... Insomma, quella è una micro dimostrazione per assurdo, capisci cosa intendo ?
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Esercizio dimostrativo
Qualcuno mi risponde ai miei dubbi postati sopra?
Grazie
Grazie
Re: Esercizio dimostrativo
Stai chiedendo come mai è impossibile che un numero divida una altro minore di se stesso....non vorrei che ti offendessi ma non dovresti ancora fare questi esercizi...
Re: Esercizio dimostrativo
6 divide 3 che è minore di 6.Stai chiedendo come mai è impossibile che un numero divida una altro minore di se stesso....non vorrei che ti offendessi ma non dovresti ancora fare questi esercizi...
Non capisco cosa intendi...
Re: Esercizio dimostrativo
6 NON divide 3, ti stai confondendo con il massimo comun divisore forse... un numero $a$ divide un numero $b$ se e solo se esiste un $k \in \mathbb{N}$ tale che $b=ka$.
p e q devono essere diversi... beh, perchè se no l'equazione di partenza che è $p^2+q^2 = pqn+1$ diventerebbe $(2-n)p^2 = 1$ . ma siccome $p \in \mathbb{P}$, si ha al minimo ceh $p=2$ che ti fa notare subito che quel'equazione non ha soluzioni
Chiaro ?
p e q devono essere diversi... beh, perchè se no l'equazione di partenza che è $p^2+q^2 = pqn+1$ diventerebbe $(2-n)p^2 = 1$ . ma siccome $p \in \mathbb{P}$, si ha al minimo ceh $p=2$ che ti fa notare subito che quel'equazione non ha soluzioni
Chiaro ?"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
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Re: Esercizio dimostrativo
Il fatto che tu creda che 6 divida 3 è un'assoluta conferma che non dovresti fare questi problemi ancora...Olivo3 ha scritto:6 divide 3 che è minore di 6.Stai chiedendo come mai è impossibile che un numero divida una altro minore di se stesso....non vorrei che ti offendessi ma non dovresti ancora fare questi esercizi...
Non capisco cosa intendi...