Esercizio febbraio 2008

[Olivo3]

Ragazzi, qualcuno mi spiega l'esercizio 10 della gara di febbraio del 2008 http://olimpiadi.sns.it/download.php?id=102 ?
Non vi posto qua la domanda perchè ci sono delle frazioni e mi risulta impossibile

[Mist]

ma, allora, tu sai che qualunque polinomio di grado n è esprimibile nella forma $\prod_{r=1}^{n}(x-x_n)$. IN questo caso abbiamo quindi che $x^4-2x^3-7x^2-2x+1 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) = x^4 +(-x_1-x_2-x_3-x_4)x^3 +(x_1x_2+x_3x_2+x_3x_1+x_4x_3+x_1x_4+x_2x_4)x^2 +(-x_1x_2x_3-x_2x_3x_4-x_1x_2x_4-x_1x_3x_4)x +x_1x_2x_3x_4$ e quindi abbiamo che
$-2=-x_1-x_2-x_3-x_4$,
$-7=x_1x_2+x_3x_2+x_3x_1+x_4x_3+x_1x_4+x_2x_4$,
$-2=-x_1x_2x_3-x_2x_3x_4-x_1x_2x_4-x_1x_3x_4$,
$1=x_1x_2x_3x_4$.
Ma $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4} = \frac{-(x_1x_2x_3-x_2x_3x_4-x_1x_2x_4-x_1x_3x_4)}{x_1x_2x_3x_4} = \frac{2}{1} = 2$

[Claudio.]

Comunque per imparare le cose base in $\LaTeX$ ci vuole pochissimo

Testo nascosto:

metti il codice tra due dollari $\$$: $\$codice\$$ i "comandi" si aprono con \ e l'argomento si mette tra parentesi graffe:
\frac{numeratore}{den} per la frazione($\frac{numeratore}{den}$), \sqrt{x} per la radice:$\sqrt{x}$; x^{2} per le potenze $x^{2}$, queste sono proprio le cose base semplicissime.

[Olivo3]

ma, allora, tu sai che qualunque polinomio di grado n è esprimibile nella forma

no, non lo so.
Puoi approfomdire un attimo questa cosa che non compromette la corretta compressione?

[Mist]

ok, scusami... Francamente non conosco la dimostrazione ( non ne ho mai avuto bisogno), ma se vedi, un polinomio di II grado è espriibile nella forma $(x-x_1)(x-x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono numeri qualsiasi (questo dovresti saperlo, sei in II...). Bon, ora la stessa cosa vale epr un polinomio di terzo grado che, andando a zero per tre numeri, è esprimibile come $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ ( se infatti sostituisci ad x uno dei tre numeri, vedi ceh va a zero il polinomio...). Ora puoi intuire la generalizzazione, ovvero quella ceh ho scritto sopra. Forse nont i era chiaro per il simbolo di produttoria ($\prod_{n=1}^{k}a_i = a_1a_2\dots a_k$) chiaro ? Chiedo al massimo a qualcuno di spiegartelo meglio, non sono braavissimo io...

[Olivo3]

un polinomio di II grado è espriibile nella forma dove e sono numeri qualsiasi (questo dovresti saperlo, sei in II...).

Bè, ad esempio x^2 -x + 2 è uguale a (x-2)(x+1)...
Non capisco bene cosa intendi con quella formula ...

[Claudio.]

Non sono numeri qualsiasi sono le radici del polinomio.

[Olivo3]

Mai studiata sta roba...

[Mist]

yes, ho scritto male, se vedi poi lo chiarisco, mi sono espresso male era solo epr dire "attento, che quelle cose con i pedici non sono solo numeri naturali come vedi spesso a scuola !!!" Guarda Ruffini

[Claudio.]

Comunque pensandoci la dimostrazione non è molto difficile: Hai un polinomio $p(x)$ ed hai che $ P(x_1)=0 $, allora applichi ruffini e hai $ p(x)=(x-x_1)q(x) $ reiterando il procedimento finchè $ q(x) $ viene di primo grado ottieni p$ (x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).... $ con gli $ x_i $ radici del polinomio. Ci sarebbero tante precisazione da fare, in particolare che si considera il coefficiente di grado massimo quando è 1, ci sarebbero probabilmente anche altre cose ma in questo ambito va bene così XD

[Olivo3]

Nin ho capito bene la risoluzione... Claudio, me la spiegheresti un po' meglio ?

[Olivo3]

Altra domanda: 3 divide 0? 3 divide -3?