Primalità e potenze di 5

[<enigma>]

(Own) Dimostrare che $ 5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n+1 $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N ^\ast $.
Fonte: AMM 109 (2002), problema 10947.

[staffo]

Se in N consideri pure lo 0, allora non vale (almeno se ho capito bene io )

EDIT: scusate, avevo scritto una castronata, ho rimosso per pietà dei vostri occhi XD

[sasha™]

Posso riscrivere la somma di potenze come $\frac{5^{5n} - 1}{4}$. Osservo che $5^{10} ≡ 1 \pmod{11}$ per FLT, congetturo $5^5 ≡ 1 \pmod{11}$, che è vero, basta verificare. Allora $5^{5n} ≡ 1 \pmod{11}$ per ogni $n$ intero positivo, e siccome $(4, 11)=1$, allora $11$ divide sempre la somma di potenze.

[Mist]

(Own) Dimostrare che $ 5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n+1 $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N $.
Fonte: AMM 109 (2002), problema 10947.

$ 5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n+1 = x $
$ 5^{3n}+5^{2n}+5^{n}+5+\frac{1}{5^n} = \frac{x}{5^n} $
$\frac{1}{5^n}-5^{4n} = x\left( \frac{1}{5^n}-1 \right)$
$1-5^{5n} = x(1-5^n)$, $x= \frac{5^{5n}-1}{5^n-1}$
$\upsilon _p (x) = \upsilon _p (5^{5n}-1) - \upsilon _p (5^n-1)= \upsilon _p (5-1) +\upsilon _p (5n) - \upsilon _p (5-1)-\upsilon _p (n) =\upsilon _p (5n) -\upsilon _p (n) $
così la esce che $5|x$, che è palesemente falso... dove ho sbagliato ?

p.s: mi sa che non ho capito il lifting lemma

[ma_go]

$\upsilon _p (x) = \upsilon _p (5^{5n}-1) - \upsilon _p (5^n-1)= \upsilon _p (5-1) +\upsilon _p (5n) - \upsilon _p (5-1)-\upsilon _p (n) =\upsilon _p (5n) -\upsilon _p (n)$

da quando $v_p(a^b-1) = v_p(a-1)+v_p(b)$?

Posso riscrivere la somma di potenze come $\frac{5^{5n}-1}4$.

no (vedi il post di Mist).

[Mist]

http://www.artofproblemsolving.com/blog/36408

Ok, non mi fiderò mai più di internet

[<enigma>]

Se in N consideri pure lo 0, allora non vale (almeno se ho capito bene io )

Emendato il testo. Grazie per la segnalazione del possibile fraintendimento.

[<enigma>]

http://www.artofproblemsolving.com/blog/36408

Ok, non mi fiderò mai più di internet

Quando usi un teorema attento a controllare che siano soddisfatte tutte le sue condizioni! Usando lifting the exponent assumi $ v_p(5-1)>0 $

[Claudio.]

Il caso $n \not\equiv 0 \pmod 5 $ si fa facilmente in modo brutale, nel caso n multiplo di 5 usando il computer trovo che il fattore comune più basso è

Testo nascosto:

101

[<enigma>]

Il caso $n \not\equiv 0 \pmod 5 $ si fa facilmente in modo brutale, nel caso n multiplo di 5 usando il computer trovo che il fattore comune più basso è

Testo nascosto:

101

Ti pare una soluzione?

[<enigma>]

Un'interessante generalizzazione per i più esperti: se $ 1<q\equiv 1 \pmod 4 $ è un numero naturale libero da quadrati, allora $ \Phi _q (q^n) $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N ^\ast $.
Piccolo suggerimento:

Testo nascosto:

se $ \zeta $ è una radice $ q $-esima dell'unità allora $ q^n-\zeta $ è una differenza di quadrati in $ \mathbb Z [\zeta ] $.

[ma_go]

http://www.artofproblemsolving.com/blog/36408

Ok, non mi fiderò mai più di internet

credo che sia più utile non fidarsi di me, a questo punto.
interessante questo lemma.. comunque, come dice <enigma>, occhio alle ipotesi (in particolare quando usi i cannoni).

[piever]

Un'interessante generalizzazione per i più esperti: se $ 1<q\equiv 1 \pmod 4 $ è un numero naturale libero da quadrati, allora $ \Phi _q (q^n) $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N ^\ast $.

Nascondo la mia domanda per non spoilerare troppo, per quanto...

Testo nascosto:

Diamine, non vorrai usare: $ \displaystyle q=\left(\sum_{k=1}^{q-1} \left(\frac{k}{q}\right) \zeta ^k \right)^2 $ ?? Il problema è carino per carità, ma se non hai soluzioni elementari avverti i malcapitati... La domanda iniziale, con q=5, ha soluzioni che non usano la fattorizzazione in estensioni ciclotomiche? A manina non riesco a escludere il caso $ n=5^a $

[Claudio.]

Il caso $n \not\equiv 0 \pmod 5 $ si fa facilmente in modo brutale, nel caso n multiplo di 5 usando il computer trovo che il fattore comune più basso è

Testo nascosto:

101

Ti pare una soluzione?

No -_- era solo una costatazione sul fatto che bisognava trattare alla fine solo quel caso e che mi sembrava più difficile del previsto, se la tua risposta stava a significare <<non mettere post inutili>> allora forse hai ragione

[sasha™]

Posso riscrivere la somma di potenze come $\frac{5^{5n}-1}4$.

no (vedi il post di Mist).

Ah, che stupido, il denominatore è $5^n-1$, non $4$... Questo perché faccio le cose senza pensare.
Ovviamente immagino che $(5^n-1, 11) = 1$, per ogni $n$, sia falso... E in effetti non vale se $5|n$.

Se mi dite che c'è una soluzione elementare provo a continuare, altrimenti lascio perdere.