Equazione

[staffo]

Oggi mentre ero a scuola ho pensato a questa equazioncina che senza l'ausilio di un calcolatore non saprei proprio risolvere, voi avete qualche diea? (non lincatemi la pagina di wolfram XD)

$ x^3-x^2-x-1=0 $

[ndp15]

Fino alle equazioni di 4° grado c'è una formula risolutiva (vedi ad esempio qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function).
Oltre si dimostra che non ci può essere nessuna formula che dia le soluzioni, quindi vanno ricavate con altri metodi (e qui incomincia l'analisi numerica che è ancora più complessa).

[jordan]

...ho pensato a questa equazioncina che senza l'ausilio di un calcolatore non saprei proprio risolvere [...] : $ x^3-x^2-x-1=0 $

Sia $ p(x):=x^3-x^2-x-1 $.

1. Esistenza della radice.
E' sufficiente notare che $ \text{deg}(p(x)) $ è dispari per cui esiste almeno un $ \alpha \in \mathbb{R} $ tale che $ p(\alpha)=0 $. []

2. Unicità della radice.
E' sufficiente mostrare che $ p(x) $ è strettamente crescente: difatti fissati due reali $ x_0, h $ risulta verificata $ p(x_0+h)>p(x_0) $ se e solo se $ \displaystyle h\left(\left(h+\frac{3x_0-1}{2} \right)^2+\frac{3}{4}\left(x_0+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3} \right)>0 $ se e solo se $ h>0 $. []

3. La radice esatta
Osserviamo che la funzione $ f(k_1,k_2,k_3,z)=k_1z+k_2z^{-1}+k_3 $ (dove $ k_1,k_2,k_3 $ sono $ 3 $ costanti positive fissate) è una somma di una retta e un'iperbole, eventualmente "translata verso l'alto", e che $ f(\mathbb{R}^+) $ prende tutti e soli i valori maggiori del minimo locale $ \beta $ (ricavabile con am-gm: per $ z>0 $ vale $ f(k_1,k_2, k_3,z)\ge 2(k_1k_2)^{\frac{1}{2}}+k_3:=\beta $).
Operiamo quindi la sostituzione: $ x \to \displaystyle y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{3} $ (e, osservando che la cubica è una funzione bigettiva) allora al variare di $ y $ nei reali positivi $ x $ assume tutti e soli i valori maggiori o uguali a $ \displaystyle 2\left(1\cdot \frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3} $.
Dal momento che $ \displaystyle p\left(\frac{5}{3}\right)<0 $, abbiamo che se $ \alpha $ è l'unica radice reale di $ p(x) $ allora $ \displaystyle \alpha >\frac{5}{3} $.
Questo significa che tale sostituzione è lecita, e per di più otterremo esattamente due valori di $ y $ "corrispondenti" alla radice $ \alpha $.

Passiamo al lato noioso del problema: $ p(x)=0 $ se e solo se $ x^3-x^2-x-1=0 $
se e solo se $ \displaystyle \left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{3}\right)^3-\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{3}\right)^2-\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{3}\right)-1=0 $
se e solo se $ \displaystyle \left[\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right)^3+\frac{1}{27}+\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right)^2+\frac{1}{3}\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right) \right] $ $ \displaystyle -\left[\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right)^2+\frac{1}{9}+\frac{2}{3}\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right) \right] $ $ \displaystyle -\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right)-\frac{4}{3}=0 $
se e solo se $ \displaystyle \left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right)^3-\frac{4}{3}\left(y^{\frac{1}{3}}+\frac{4}{9y^{\frac{1}{3}}}\right)-\frac{38}{27}=0 $
se e solo se $ \displaystyle y^2-\frac{38}{27}y+\left(\frac{2}{3}\right)^6=0 $
se e solo se $ \displaystyle \left(y-\frac{19}{27}\right)^2=\left(\frac{19}{27}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^6 =\frac{297}{729} $.
Tornando alla sotituzione iniziale (con uno qualsiasi degli $ y $ soluzione), troviamo la radice esatta di $ p(x) $. []