disporre n oggetti in k posti

[io.gina93]

penso che sia vecchio..

scrivere quanti modi ci sono per disporre n oggetti in k posti

[Claudio.]

Beh credo che si trovi in ogni libro di teoria, comunque interpeto come (inverto le lettere per comodità): Come si possono disporre k oggetti uguali in n scatole diverse? $\binom{n+k-1}{k}$ ed è lo stesso problema delle combinazioni con ripetizione.
Per la dimostrazione basta cercare di modificre il problema in uno più semplice ma equivalente.

[kakkarone93]

ma questa non è una disposizione semplice??? quindi la formula è $ D_{n,k} =\frac{n!}{(n-k)!} $ o sbaglio?

[io.gina93]

ehm.. no... ^^

preso da qui

Le combinazioni di n elementi a k a k (k ≤ n) sono tutti i sottoinsiemi di k elementi di
un dato insieme di n elementi, tutti distinti tra loro. La definizione appare molto simile a
quella delle disposizioni, ma `e importante capirne la differenza: le disposizioni differiscono
per la presenza di elementi diversi o per l’ordine degli elementi, le combinazioni unicamente
per la presenza di elementi diversi. Un tipico esempio di combinazione `e un’estrazione a
premi.

Le combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k sono i raggruppamenti che si
possono formare scegliendo k elementi tra gli n di un insieme dato, ma ammettendo che
ogni elemento possa trovarsi ripetuto nel gruppo un qualunque numero di volte: in questo
modo ogni gruppo differir`a dall’altro per almeno un elemento (o per quante volte `e presente
un elemento). Per visualizzare la cosa in un modo alternativo, a ogni elemento i vogliamo
associare il numero di volte che esso `e presente $ r_i$
, facendo in modo che $r_1+r_2+. . .+r_n = k$
(cio`e il totale degli elementi sia k). Il numero di tali raggruppamenti `e espresso dalla
formula:
$ C_{n,k}= \displaystyle{\dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}= $$\binom{n+k-1}{k}$

[kakkarone93]

penso che sia vecchio..

scrivere quanti modi ci sono per disporre n oggetti in k posti

il testo dice disporre! se io, ad esempio ho l'insieme di 6 elementi, $ A : {1, 2, 3, 4, 5, 6 } $ e li devo disporre in 3 posti, la soluzione 1 2 3 sarà differente da 3 2 1, quindi l'ordine è importante, quindi è una disposizione...o no?

[io.gina93]

beh, credo di sì, ma allora la soluzione non è $ k^n $ ??
n=oggetti
k=posti



cmq dovrebbe essere una diposizione con ripetizione...

[kakkarone93]

beh, da come è posto il problema è senza ripetizione. Sto studiando combinatoria proprio in questo periodo e in qualsiasi testo, se gli oggetti sono ripetuti viene specificato.
ad esempio : in quanti modi è possibile disporre n oggetti in k posti, anche ripetendoli?
da dove l'hai preso il testo?

[io.gina93]

il testo non l'ho preso da nessuna parte...
mi scuso per aver scritto $n^k$ anzichè $k^n$

cmq dicevo, una disposizione con ripetizione perchè, facciamo finta che gli n oggetti siano 1,2,3 e i k posti A,B
avremo $k^n=8$ possibilità:
1,2,3 ------------ 0
1,2 ---------------3
1,3 ---------------2
2,3 ---------------1
0------------------1,2,3
1------------------2,3
2 -----------------1,3
3------------------1,2

fa $ k^n $ perchè basta dire che il posto A (o il posto b) può essere assegnato sì o no a tutti gli oggetti...
quindi sono i posti che possono essere ripetuto fino a n volte...

[Claudio.]

Beh bisognerebbe dire prima di tutto se gli oggetti sono tutti uguali o meno, poi in generale io lo interpreto come disporre degli oggetti in dei cassetti, che non centra con le disposizioni, poichè nello stesso cassetto puoi anche metterne più di uno e non è l'ordine che conta.

[kakkarone93]

Beh bisognerebbe dire prima di tutto se gli oggetti sono tutti uguali o meno, poi in generale io lo interpreto come disporre degli oggetti in dei cassetti, che non centra con le disposizioni, poichè nello stesso cassetto puoi anche metterne più di uno e non è l'ordine che conta.

si esattamente, andrebbe detto di più

non può essere con ripetizioni, ad esempio facciamo finta che gli oggetti siano maglioni 1 blu, 1 bianco, 1verde, 1 arancione.. ecc... e li devo sistemare su di un ripiano...non posso mettere 2 maglioni arancioni di fila per il semplice fatto che ne ho 1 solo arancione. il fatto che non sia specificato se gli oggetti siano tutti uguali o meno, in genere sottintende che siano tutti diversi... poi non so...

[Claudio.]

Guarda da come è posto il problema sono quasi certo che intenda quello che dico io poichè è una cosa nota.

[io.gina93]

veramente io intendevo oggetti diversi, non avendolo specificato , andava bene la soluzione di claudio...

cmq, quando dicevo ripetizione, intendevo il posto assegnato.. e non gli oggetti, per questo viene k^n.
ora penso, che i malintesi siano chiariti...

[kakkarone93]

bah... non sono pienamente convinta... XD

[io.gina93]

oggetti tutti diversi tra loro, senza ripetizione

dico che fa $k^n$, perchè sono i posti che possono essere assegnati a più oggetti...

disponiamo 2 oggetti (A;B) in tre posti (1,2,3). dovremo avere $k^n=9$ combinazioni.


__(1)____(2)____(3)=====>posti
1)A;B------0--------0
2)0-------A,B-------0
3)0--------0-------A,B
4)A--------B--------0
5)B--------A--------0
6)0--------A--------B
7)0--------B--------A
8 )A-------0--------B
9)B--------0--------A

ora proviamo ad invertire i posti e gli oggetti, vediamo che le combinazioni di sopra possono esser viste anche così..
OGGETTI:
______(A)_________(B)=====>oggetti
1)-------1---------------1
2)-------2---------------2
3)-------3---------------3
4)-------1---------------2
5)-------2--------------1
6)-------2--------------3
7)-------3--------------2
8 )------1--------------3
9)-------3--------------1

come vedi per l'oggetto A possono essere assegnate 3 posti così anche per l'oggetto B, quindi $3 \cdot 3=9$.
in poche parole per ogni $n$ oggetto possono essere assegnate $k$ posti, e le combinazioni sono $k^n$

[kakkarone93]

ok ho capito... anche se secondo me il testo è posto male... io l'avevo interpretato:

disporre 3 oggetti A,B,C in 2 cassetti 1,2 =>
.....1.......2 <-- CASSETTI
....A.......B
....B.......A
....A.......C
....C.......A
....C.......B
....B.......C
che poi è la soluzione che da qualsiasi testo di combinatoria...
ed il caso in cui non metto oggetti nei cassetti non lo consideri? cioè, che gli oggetti rimangano senza posto...