diseguaglianza

[Pil]

Sia x^2+y^2+z^2=1
<BR>dimostrare che xyz(x+y+z)<=1/3

[alberto]

sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)=1/sqrt3
<BR>per le disuguaglianze tra le medie:
<BR>a+b+c<=3/sqrt3
<BR>abc<=1/3*sqrt3
<BR>a+b+c(abc)<=1/3

[lordgauss]

Ecco, torno.
<BR>
<BR>1 = (x²+y²+z²)² =
<BR>= x^4+y^4+z^4+2x²y²+2x²z²+2y²z² >=
<BR>>= 9xyz(x+y+z), per la disuguaglianza di riarrangiamento.
<BR>

[DD]

forte!

[massiminozippy]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-01 14:34, lordgauss wrote:
<BR>per la disuguaglianza di riarrangiamento.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>In cosa consiste?

[alberto]

fantastico!
<BR>ci ho messo un po\' a capirla...
<BR>se il maestro è d\'accordo la rendo un po\' + esplicita in modo che sia + accessibile a tutti:
<BR>
<BR>1 = (x²+y²+z²)² =
<BR>= x^4+y^4+z^4+2x²y²+2x²z²+2y²z²
<BR>(e fin qui è chiaro)
<BR>ora:
<BR>x^4+y^4+z^4= x²x²+y²y²+z²z²
<BR>cioè x^4+y^4+z^4 si ottiene accoppiando dei 6 termini x²,x²,y²,y²,z²,z² il + grande con il + grande,il secondo con il secondo e il + piccolo con il + piccolo, e sommando questi 3 prodotti ottenuti
<BR>
<BR>la disuguaglianza di riarrangiamento dice che questo modo di accoppiare i 6 termini assicura la somma massima.
<BR>
<BR>quindi
<BR>x^4+y^4+z^4>= x²y²+y²z²+x²z²
<BR>perchè x²y²+y²z²+x²z² è un altro modo di accoppiare a due a due x²,x²,y²,y²,z²,z².
<BR>
<BR>si ha quindi per ora che 1>= 3(x²y²+x²z²+y²z²)
<BR>
<BR>(x²y²+x²z²+y²z²)>=(xy²z + x²yz + xyz²)
<BR>per lo stesso motivo (i termini delle 2 successioni sarebbero xy,xy,xz,xz,yz,yz)
<BR>
<BR>si ha quindi che 1>=3(xy²z + x²yz + xyz²)
<BR>
<BR>cioè che 1>= 3xyz(x+y+z), cioè la tesi.
<BR>
<BR>[il 9 credo fosse una distrazione]
<BR>P.S.: chiedo scusa se io nel post precedente avevo invertito x,y,z con a,b,c

[massiminozippy]

L\'uguaglianza si ha quando x^2=y^2=z^2=1/3, ossia x=y=z=sqrt3/3.

[info]

Qualcuno per favore fà ad un ignorante un riassuntino completo su medie et similia????

[Azarus]

Engel.
<BR>
<BR>
<BR>(fa senza accento)

[alberto]

AM=media aritmetica= [a(1)+...+a(n)]/n
<BR>GM=media geometrica= radice n-esima di [a(1) x a(2) x...x a(n)]
<BR>QM=media quadratica=rad [(a(1)^2 +...+ a(n)^2)/n]
<BR>HM= media armonica= n/(a(1)^-1 +...+a(n)^-1) [sarebbe il reciproco della media aritmetica dei reciproci degli a(i)]
<BR>
<BR>la disuguaglianza tra le medie dice che
<BR>
<BR>min[a(1),...,a(n)]<=HM<=GM<=AM<=QM<=max[a(1),...,a(n)]
<BR>vale un qualunque segno di = se e solo se tutti gli a(i) sono =.
<BR>se vale un segno di = valgono tutti i segni di =
<BR>
<BR>
<BR>in generale la media p_esima MP è:
<BR>[a(1)^p+...+a(n)^p]^(1/p)
<BR>
<BR>vale MP<=MQ se p minore di q<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 02-05-2003 15:15 ]

[info]

Che cafone....nn ti ho neanche ringraziato!!!! Naturalmente la parte + importante di ciò che hai scritto è che ogni media è maggiore del minore dei numeri dati e minore del maggiore (la + scontata!!!!!).
<BR>Sapresti anche dirmi come e cosa è la dis di riarrangiamento usata sopra (credo come caso particolare)??????
<BR>p.s.: nn per niente mi chiamo info

[alberto]

la disuguaglianza di riarrangiamento dice che se hai due n-uple (a(1)...a(n)) e (b(1)...b(n))di numeri reali, con
<BR>a(1)>=...>=a(n)
<BR>b(1)>=...>=b(n)
<BR>e una premutazione k dei numeri [1...n]
<BR>allora la somma per i da 1 a n di:
<BR>a(i)*b(k(i))
<BR>è max se k(i)=i per ogni i
<BR>è min se k(i)= n-i per ogni i
<BR>
<BR>...in soldoni devi accoppiare:
<BR>_il + grande con il + grande, il secondo con il secondo... per avere somma massima
<BR>_il + grande con il + piccolo, il secondo con il penultimo... per avere la somma minima.
<BR>
<BR>...a questo chebycheff aggiunge che:
<BR>_la prima sum*n è >= sum[a(i)] * sum[b(i)]
<BR>_la seconda sum*n è <= sum[a(i)] * sum[b(i)]
<BR>

[info]

Ok....grazie.
<BR>Scusa Azarus........EEEEEEEEEEEEHHHHHHH(chi o cosa è Engel????)Mi ero dimenticato di chiedertelo