Shiftare 16 cifre.

[LukasEta]

Trovare un numero $ n $ di 16 cifre, tale che shiftando le sue 16 cifre otteniamo i suoi primi 16 multipli, in qualsiasi ordine.

NOTA: (shiftare un numero significa portare di volta in volta la prima cifra da sinistra al posto della prima cifra da destra, e scalare tutte le altre di un posto verso sinistra. Se ad esempio shifto il numero $ 123456789 $ ottengo nell'ordine:$ 234567891,345678912,456789123,567891234,678912345,789123456,891234567,912345678 $).


CONSIDERAZIONI
-Se chiamo $ M $ la somma di $ n $ con i suoi 15 "shiftamenti", ottengo che $ M=n+2n+3n...+16n=136n $
-Se chiamo le cifre di $ n $ da destra verso sinistra: $ a_0,a_1,...a_{15} $, e chiamo $ S=a_0+a_1...+a_{15} $ ho che $ M=a_0(1+10+10^{2}...+10^{15})+a_2(1+10+10^{2}...+10^{15})+....+a_{15}(1+10+10^{2} ...+10^{15})= S(\frac{10^{16}-1}{10-1}) $

Da cui ottengo che $ S(\frac{10^{16}-1}{10-1})=136n $.

Ok...adesso...non saprei come andare avanti, ma spero che tutto ciò almeno sia utile xD

[sasha™]

Prova a fare qualche osservazione su $S$. Ad esempio, per cosa è certamente divisibile? Quanto può valere al massimo? Dovrebbe bastare a trovarlo.

[LukasEta]

Prova a fare qualche osservazione su $S$. Ad esempio, per cosa è certamente divisibile? Quanto può valere al massimo? Dovrebbe bastare a trovarlo.

Benissimo, mi ritiro in meditazione Vi faccio sapere cosa produce tale meditazione (sempre che ne esca qualcosa )

[Mist]

ma scusa, se noi abbiamo 16 multipli di un numero di 16 cifre, allora almeno uno di questi avrà più di 16 cifre e quindi non potrà essere uno shiftamento... non è che c'è un errore nel testo ?

[sasha™]

Il numero iniziale comincia per 0, e così si sistema da solo anche il caso x10.

[<enigma>]

Il numero iniziale comincia per 0, e così si sistema da solo anche il caso x10.

E se non devono essere per forza significative, chi ci impedisce di prendere 0000000000000000?

[sasha™]

Il fatto che la traccia "ufficiale" dica un intero positivo, se non sbaglio.

[<enigma>]

la traccia "ufficiale" dica un intero positivo

Qual è questa traccia ufficiale?
Se le cifre non devono per forza essere significative, chi dice che i mutipli son per forza distinti?

[sasha™]

Non la ricordo a memoria, comunque è un problema delle sessioni dei Winter Camp di quest'anno, e fidati che ha soluzioni anche escludendo il caso "tutti zero".

[darkcrystal]

La traccia ufficiale dovrebbe essere questa: trovare tutti gli interi positivi di 16 cifre (la prima può essere zero) tali che l'insieme dei 16 shift ciclici e l'insieme dei primi 16 multipli coincidano (ovvero i primi 16 multipli si ottengano shiftando le cifre di un certo numero di posizioni, senza particolari relazioni tra il multiplo da ottenere e la quantità di cifre da shiftare).
Buon lavoro!

[LukasEta]

Prova a fare qualche osservazione su $S$. Ad esempio, per cosa è certamente divisibile? Quanto può valere al massimo? Dovrebbe bastare a trovarlo.

Allora...$ S=\frac{(8*17)n}{(10^8+1)(10^4+1)(10^2+1)(11)}=\frac{8n}{(\frac{10^8+1}{17})(10^4+1)(10^2+1)(11)} $

Da qui deduco che $ 8|S $ e che $ (\frac{10^8+1}{17})(10^4+1)(10^2+1)(11)|n $

Ora, se considero la cifra delle unità di $n$ , so in base ad essa quale dovrà essere la cifra delle unità dei vari multipli. Siccome i multipli sono 16, quante le cifre, e siccome ogni cifra $ a_0,a_1...,a_{15} $ appare al posto delle unità soltanto una volta, posso trovare quali sono tutte e 16 le cifre in base alla cifra delle unità di $n$.

con $ U_{n},U_{2n}...U_{16n} $ indico la cifra delle unità dei vari multipli di $n$, e scriverò la successione di cifre seguendo questo ordine.

Se $ U_n=1 $ ottengo : 1-2-3-4-5-6-7-8-9-0-1-2-3-4-5-6 <---- S=66 NO (8 non divide S)
Se $ U_n=2 $ ottengo : 2-4-6-8-0-2-4-6-8-0-2-4-6-8-0-2 <---- S=62 NO
Se $ U_n=3 $ ottengo : 3-6-9-2-5-8-1-4-7-0-3-6-9-2-5-8 <---- S=78 NO
Se $ U_n=4 $ ottengo : 4-8-2-6-0-4-8-2-6-0-4-8-2-6-0-4 <---- S=64 SI'
Se $ U_n=5 $ ottengo : 5-0-5-0-5-0-5-0-5-0-5-0-5-0-5-0 <---- S=40 SI'
Se $ U_n=6 $ ottengo : 6-2-8-4-0-6-2-8-4-0-6-2-8-4-0-6 <---- S=66 NO
Se $ U_n=7 $ ottengo : 7-4-1-8-5-2-9-6-3-0-7-4-1-8-5-2 <---- S=72 SI'
Se $ U_n=8 $ ottengo : 8-6-4-2-0-8-6-4-2-0-8-6-4-2-0-8 <---- S=68 NO
Se $ U_n=9 $ ottengo : 9-8-7-6-5-4-3-2-1-0-9-8-7-6-5-4 <---- S=84 NO

Per cui $ S=64,40,72 $

L'equazione iniziale diventa
1)$ n=8(\frac{10^8+1}{17})(10^4+1)(10^2+1)(11) $
2)$ n=5(\frac{10^8+1}{17})(10^4+1)(10^2+1)(11) $
3)$ n=9(\frac{10^8+1}{17})(10^4+1)(10^2+1)(11) $

La 3) mi dà come soluzione $ n=0588235294117647 $ ( ma forse anche le altre 2 danno soluzioni, solo che non avevo voglio di fare il conto chi ha voglia lo faccia pure !)

PS: provare alcuni shiftamenti con la calcolatrice e vedere che esce un numero intero, è un'autentica gioia
PPS: Ok ho provato le altre, mi sembra che la 3) dia l'unica soluzione!

[darkcrystal]

Osserva che la somma delle cifre è invariante per shift, quindi puoi considerare 9n, che sicuramente ha la somma delle cifre divisibile per 9, per dedurre che anche il tuo numero ha la somma delle cifre multipla di 9, e quindi $ n \equiv 0 \pmod 9 $... questo dovrebbe escluderti i due casi rimanenti.
Inoltre, se non mi sbaglio, non hai fornito una dimostrazione del fatto che quel numero vada bene, ma che se c'è un numero con la proprietà che vuoi, allora è lui: come puoi evitare di fare tutte le prove, per dimostrare che effettivamente funziona?

Nota anche che il tuo numero è $ \displaystyle \frac{(10^8+1)(10^4+1)(10^2+1)(10+1)(10-1)}{17}=\frac{10^{16}-1}{17} $, se questo può aiutarti...