Numeri sia triangolari che quadrati

[afullo]

Sto cercando di dimostrare un risultato che li riguarda ma mi sono piantato.

Testo nascosto:

Facendo riferimento alle definizioni di numero quadrato e triangolare, ed impostando l'uguaglianza, si ottiene:
$ n^2 = \frac{m \cdot (m+1)}{2} $
Una successione di passaggi algebrici porta a:
\begin{eqnarray*}
n^2 & = & \frac{m \cdot (m+1)}{2} \\
n^2 & = & \frac{m^2+m}{2} \\
2n^2 - (m^2+m) & = & 0 \\
2n^2 - \left( m^2+m+\frac{1}{4} \right) & = & -\frac{1}{4} \\
2n^2 - \left( m+\frac{1}{2} \right)^2 & = & -\frac{1}{4} \\
8n^2 - (2m+1)^2 & = & -1 \\
t^2 - 8n^2 & = & 1
\end{eqnarray*}
dove si è posto infine $ t := 2m+1 $.
Le soluzioni sono dunque tutte e sole le coppie $(t,n)$ dell'equazione di Pell cui sopra con il vincolo $t$ dispari.
È possibile, volendo, porre $ s:= 2n $ e far diventare l'equazione $ t^2 - 2s^2 = 1$, riconducedosi alla più classica delle eequazioni di Pell, con tuttavia il vincolo supplementare della parità di $s$.
Come ben noto dalla teoria, esistono infinite coppie di numeri interi positivi che soddisfano l'equazione, ed esistono formule ricorsive e formule chiuse che permettono di determinare queste coppie al variare di un parametro.

Per risolvere $ t^2 - 2s^2 = 1$, esplicitiamo innanzitutto lo sviluppo in frazione continua di $\sqrt{2}$. Si tratta di un risultato piuttosto noto: la parte intera è pari a $1$, mentre gli elementi successivi sono tutti pari a $2$; esso può essere scritto come $[1; 2, 2, 2, \ldots]$, oppure:
$$ 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} $$
Poichè lo sviluppo si stabilizza subito (a $2$), consideriamo il primo convergente, pari a $\frac{3}{2}$. Si verifica immediatamente che $(t,s)=(3,2)$ è effettivamente una soluzione, infatti $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1 $.
Poichè $s=2n$, abbiamo che $n=1$, $n^2=1$, e abbiamo trovato il primo numero sia triangolare che quadrato. Ricaviamo ora le soluzioni successive.
Se $(t_0,s_0)$ rappresenta la soluzione più piccola non banale, considerando l'anello $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, in questo caso $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, tutte le altre soluzioni $(t,s)$ sono date da $t+s\sqrt{2}=(t_0+s_0\sqrt{2})^i$, ovvero dai coefficienti degli elementi $1$ e $\sqrt{2}$.

Le soluzioni seguenti si ottengono pertanto come:

\hline $i$ & $(3+2\sqrt{2})^i$ & $t$ & $s$ & $m$ & $n$ & $n^2$ \\
\hline $1$ & $(3+2\sqrt{2})$ & $3$ & $2$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
\hline $2$ & $(17+12\sqrt{2})$ & $17$ & $12$ & $8$ & $6$ & $36$ \\
\hline $3$ & $(99+70\sqrt{2})$ & $99$ & $70$ & $49$ & $35$ & $1225$ \\
\hline $4$ & $(577+408\sqrt{2})$ & $577$ & $408$ & $288$ & $204$ & $41616$ \\
\hline $5$ & $(3363+2378\sqrt{2})$ & $3363$ & $2378$ & $1681$ & $1189$ & $1413721$ \\
\hline $6$ & $(19601+13860\sqrt{2})$ & $19601$ & $13860$ & $9800$ & $6930$ & $48024900$ \\

e ancora:

\hline $i$ & $t$ & $s$ & $m$ & $n$ & $n^2$ \\
\hline $7$ & $114243$ & $80782$ & $57121$ & $40391$ & $1 \mbox{ } 631 \mbox{ } 432 \mbox{ } 881$ \\
\hline $8$ & $665857$ & $470832$ & $332928$ & $235416$ & $55 \mbox{ } 420 \mbox{ } 693 \mbox{ } 056$ \\
\hline $9$ & $3880899$ & $2744210$ & $1940449$ & $1372105$ & $1 \mbox{ } 882 \mbox{ } 672 \mbox{ } 131 \mbox{ } 025$ \\
\hline $10$ & $22619537$ & $15994428$ & $11309768$ & $7997214$ & $63 \mbox{ } 955 \mbox{ } 431 \mbox{ } 761 \mbox{ } 796$ \\

(purtroppo qui non funziona l'ambiente tabular).

[continua nel post successivo...]

[afullo]

[riprende dal post precedente...]

Testo nascosto:

In generale:
$ \begin{eqnarray*} (t_{i-1} + s_{i-1}\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) & = & (t_i + s_i\sqrt{2}) \\ 3 t_{i-1} + 2\sqrt{2} t_{i-1} + 3\sqrt{2} s_{i-1} + 4 s_{i-1} & = & (t_i + s_i\sqrt{2}) \\ 3 t_{i-1} + 4 s_{i-1} + (2 t_{i-1} + 3 s_{i-1}\sqrt{2}) & = & (t_i + s_i\sqrt{2}) \\ \end{eqnarray*} $
da cui, ricorsivamente:
\begin{eqnarray*}
t_i & = & 3 t_{i-1} + 4 s_{i-1} \\
s_i & = & 2 t_{i-1} + 3 s_{i-1}
\end{eqnarray*}
Osserviamo anche che, al crescere di $i$, il rapporto tra $t$ ed $s$ tende a $\sqrt{2}$. Questo può essere dimostrato nel seguente modo: se consideriamo la quantità $(3-2\sqrt{2})$, identica alla base delle potenze precedenti ma con il segno meno invece che il segno più, e che pertanto possiamo definire \textit{coniugata}, le sue potenze sono ancora le potenze precedenti con il segno cambiato: ovvero, la potenza $i$-esima della coniugata è pari alla coniugata della potenza $i$-esima; la dimostrazione è banale. Tuttavia, a differenza dell'altro caso, il valore $(3-2\sqrt{2})$ è minore di $1$, e pertanto $ \lim_{i \rightarrow +\infty} (3-2\sqrt{2})^i = \lim_{i \rightarrow +\infty} (t_i - s_i\sqrt{2}) = 0 $; si potrà quindi scrivere, per ogni $i$, $t_i = k_i s_i$, con $ \lim_{i \rightarrow +\infty} k_i = \sqrt{2} $. Possiamo anche esprimere la relazione, ponendo $ l_i := k_i - \sqrt{2} $, come $ t_i = \sqrt{2} s_i + l_i s_i $, con $ \lim_{i \rightarrow +\infty} l_i = 0 $, in modo tale da avere una quantità che tende a zero.
In questo modo possiamo dimostrare quanto vale il rapporto tra due numeri sia triangolari che quadrati successivi.
Infatti, osserviamo che, poichè $ n = \frac{s}{2} $, allora $ n_i^2 = \frac{s_i^2}{4} $. Vediamo come esprimere $s_i$ unicamente in funzione di $s_{i-1}$ (e non di $t_{i-1}$). Dalle equazioni:
\begin{eqnarray*}
s_i & = & 2 t_{i-1} + 3 s_{i-1} \\
t_i & = & \sqrt{2} s_i + l_i s_i
\end{eqnarray*}
otteniamo:
\begin{eqnarray*}
s_i & = & 2 \sqrt{2} s_{i-1} + 2 l_i s_{i-1} + 3 s_{i-1} \\
s_i & = & s_{i-1} (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)
\end{eqnarray*}
da cui:
\begin{eqnarray*}
s_i^2 & = & s_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)^2 \\
4n_i^2 & = & 4n_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)^2 \\
n_i^2 & = & n_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)^2
\end{eqnarray*}
Abbiamo detto che, al tendere di $i$ all'infinito, la quantità di $l_i$ tende a $0$. Dalla definizione di limite di una successione, posto un qualsiasi margine di errore come accettabile, esisterà un $i$ sufficientemente grande tale per cui per esso e per tutti i successivi si possa scrivere, approssimando nel margine di errore richiesto:
$$ n_i^2 = n_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2})^2 $$
pertanto il limite a cui tende tale rapporto è $$ (3 + 2\sqrt{2})^2 = (17 + 12\sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})^4 $$

[continua nel post successivo...]

[afullo]

[riprende dal post precedente]

Testo nascosto:

Definiamo ora, cambiando un po' la notazione, $ a_{1,j} := n_i $, dove gli indici $i$ e $j$ sono corrispondenti.

Chiamiamo poi $ a_{2,j} := \frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}} - \frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}} $

Vorrei provare che:

$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,{j-1}}}{a_{2,j}} = (1+\sqrt{2})^4 $$

visto che "sperimentalmente", calcolandolo rispetto ai primi valori sia triangolari che quadrati, si ottiene che il limite è lo stesso del rapporto tra due numeri successivi che possiedono questa proprietà.

Si ha:

$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,j}}{a_{2,j-1}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}}-\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}}
{\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}-\frac{a_{1,j-1}}{a_{1,j-2}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{a_{j+1}}{a_{j}}-\frac{a_{j}}{a_{j-1}}}
{\frac{a_{j}}{a_{j-1}}-\frac{a_{j-1}}{a_{j-2}}} := \frac{1}{L_2} $$
Poichè $ a_j = \frac{s_j^2}{4} $, possiamo andare a sostituire, semplificando implicitamente il $4$ che comparirebbe ovunque a denominatore:
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{s_{j+1}^2}{s_{j}^2}-\frac{s_{j}^2}{s_{j-1}^2}}
{\frac{s_{j}^2}{s_{j-1}^2}-\frac{s_{j-1}^2}{s_{j-2}^2}} $$
Sarà ora:
\begin{eqnarray*}
s_{j+1}^2 & = & s_j^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j+1})^2 \\
& = & s_{j-1}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j+1})^2
\cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2 \\
& = & s_{j-2}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j+1})^2
\cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2
\cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j-1})^2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
s_j^2 & = & s_{j-1}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2 \\
& = & s_{j-2}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j-1})^2
\end{eqnarray*}
e infine:
$$ s_{j-1}^2 = s_{j-2}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j-1})^2 $$
Esplicitiamo anche i rapporti che ci interessano:
\begin{eqnarray*}
\frac{s_{j+1}^2}{s_j^2} & = & (3 + 2 \sqrt{2} +2 l_{j+1})^2 \\
\frac{s_j^2}{s_{j-1}^2} & = & (3 + 2 \sqrt{2} +2 l_j)^2 \\
\frac{s_{j-1}^2}{s_{j-2}^2} & = & (3 + 2 \sqrt{2} +2 l_{j-1})^2 \\
\end{eqnarray*}
In funzione di essi, è ora possibile riscrivere $ 1 / L_2 $:
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { (3 + 2\sqrt{2} + 2l_{j+1})^2 - (3 + 2\sqrt{2} + 2l_j)^2 }
{ (3 + 2\sqrt{2} + 2l_j)^2 - (3 + 2\sqrt{2} + 2l_{j-1})^2 } $$
Trasformiamo ora la differenza di quadrati nel prodotto notevole:
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { (6 + 4\sqrt{2} + 2(l_j + l_{j+1})) \cdot 2(l_j - l_{j+1})}
{ (6 + 4\sqrt{2} + 2(l_{j-1} + l_j)) \cdot 2(l_{j-1} - l_j)} $$
Poiché la successione $l$ tende a zero per $j$ che tende all'infinito, il contributo dato dai termini che la contegono alle somme a primo fattore (sia a numeratore che a denominatore) è trascurabile rispetto alle altre quantità, e può essere pertanto non considerato nel calcolo del limite. Allora: \\
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac{(6 + 4\sqrt{2}) \cdot 2(l_j - l_{j+1})}{(6 + 4\sqrt{2}) \cdot 2(l_{j-1} - l_j)}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{l_j - l_{j+1}}{l_{j-1} - l_j} $$
da cui:
$$ L_2 = \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{l_{j-1} - l_j}{l_j - l_{j+1}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac{(k_{j-1}-\sqrt{2}) - (k_j-\sqrt{2})}{(k_j-\sqrt{2}) - (k_{j+1}-\sqrt{2})}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{k_{j-1} - k_j}{k_j - k_{j+1}} $$
Poiché $ k = t/s $:
$$ L_2 = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac {\frac{t_{j-1}}{s_{j-1}} - \frac{t_j}{s_j}}
{\frac{t_j}{s_j} - \frac{t_{j+1}}{s_{j+1}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { \frac{t_{j-1}}{s_{j-1}}
-\frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}} }
{ \frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}}
-\frac{3t_{j}+4s_{j}}{2t_{j}+3s_{j}} }
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { \frac{t_{j-1}}{s_{j-1}}
-\frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}} }
{ \frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}}
-\frac{17t_{j-1}+24s_{j-1}}{12t_{j-1}+17s_{j-1}}}
$$

E qui mi pianto perché, nonostante tutto, mi continua ad uscire una forma del tipo $ \frac{0}{0} $.

Qualche idea su come riuscire a calcolare quel limite?

[dario2994]

Ma qual è l'obiettivo?

[afullo]

Ma qual è l'obiettivo?

Dimostrare quel limite, giustificherebbe in maniera rigorosa un procedimento empirico per calcolare i numeri sia triangolari che quadrati che ero riuscito a ricavare intuitivamente già nel 2003, con il quale ero riuscito a trovarli tutti fino a 10^15 (quelli riportati nell'ultima colonna delle tabelle di fine primo post), e che fa a meno di tutta la teoria delle equazioni di Pell. Nel caso posso allegare un pdf in cui descrivo in che cosa consiste questo procedimento empirico.

[dario2994]

Sì... ma diocisalvi dal leggere tutti quei contazzi.
Insomma... non riesci a esplicitare il limite in meno di 3 post...

[afullo]

Il problema si può sintetizzare così:

Sia $ a_{1,j} $ la successione ordinata dei numeri sia triangolari che quadrati, e.g. $a_{1,1}=1, a_{1,2}=36, a_{1,3}=1225, \ldots$. Definiamo:

$$ a_{2,j} := \frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}} - \frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}} $$

Dimostrare che:

$$ lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,j-1}}{a_{2,j}} = (1 + \sqrt{2})^4 $$

Il resto sono tutti calcoli che possono essere d'aiuto, e da cui partire.

[dario2994]

Perfetto

[afullo]

Forse ce l'ho fatta. Ma come ha in firma qualcuno che ora non ricordo, il più bel momento per un matematico sono i cinque minuti tra l'ottenimento di un risultato e la verifica che esso è sbagliato. Dunque aspetto ancora prima di esultare...

[afullo]

Allora, dove eravamo rimasti? Gli ultimi due passaggi per trasformare il limite annulliamoli.
Ora, poiché $ k = t/s $:
$$ L_2 = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac {\frac{t_{j-1}}{s_{j-1}} - \frac{t_j}{s_j}}
{\frac{t_j}{s_j} - \frac{t_{j+1}}{s_{j+1}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac {\frac{t_{j-1} s_j - t_j s_{j-1}}{s_j s_{j-1}}}
{\frac{t_j s_{j+1} - t_{j+1} s_j}{s_j s_{j+1}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac {(t_{j-1} s_j - t_j s_{j-1}) \cdot s_j \cdot s_{j+1}}
{(t_j s_{j+1} - t_{j+1} s_j) \cdot s_j \cdot s_{j-1}}
$$
Procediamo ulteriormente:
$$ L_2 = \lim_{j \rightarrow +\infty} \left(
\frac{s_{j+1}}{s_{j-1}} \cdot
\frac{t_{j-1} s_j - t_j s_{j-1}}{t_j s_{j+1} - t_{j+1} s_j} \right)
= (3+2\sqrt{2})^2 \cdot \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac{t_{j-1} s_j - t_j s_{j-1}}{t_j s_{j+1} - t_{j+1} s_j}
$$
dove naturalmente $ s_{j+1}/s_{j-1} = (s_{j+1}/s_j) \cdot (s_j/s_{j-1}) $ e il limite per $j$ che tende all'infinito di entrambi i fattori tende a $(3+2\sqrt{2})$. \\
Per studiare il fattore che resta, limitiamoci a considerare il denominatore. Possiamo scrivere:
\begin{eqnarray*}
t_j s_{j+1} - t_{j+1} s_j
& = & t_j (2 t_j + 3 s_j) - (3 t_j + 4 s_j) s_j
= 2 t_j^2 + 3 s_j t_j - 3 s_j t_j - 4 s_j^2 \\
& = & 2 t_j^2 - 4 s_j^2
= 2 t_j^2 - 4 s_j^2 = 2 (t_j^2 - 2 s_j^2) = 2 \cdot 1 = 2
\end{eqnarray*}
dove il fattore tra parentesi vale $1$ per ogni $j$, in quanto i $t_j$ e gli $s_j$ soddisfano proprio l'equazione di Pell $ t_j^2 - 2 s_j^2 = 1 $. Ma, proprio poiché vale per ogni $j$, anche il numeratore varrà $2$, in quanto corrisponde al denominatore con l'indice sfasato di uno. Pertanto il loro rapporto è costante, e pari ad $1$. Naturalmente allora sarà tale anche il limite per $j$ tendente all'infinito, e pertanto:
$$ L_2 = (3+2\sqrt{2})^2 = (17+12\sqrt{2}) = (1+\sqrt{2})^4 $$
come volevasi dimostrare.

Il cielo è azzurro sopra Berlino

[FrancescoVeneziano]

Devo confessare che questo thread mi ha confuso.

A parte che non ho idea di come o perché possa esserti venuto in mente di calcolare il limite di quella quantità lì ($a_{2,j-1}/a_{2,j}$), non capisco né sono riuscito a seguire quelle paginate di conti; sbaglio o il calcolo del limite è un esercizio abbastanza semplice sulle equazioni di Pell?

Basta osservare che:
A) Risolvendo l'equazione di Pell si ottiene $a_{1,j}=\frac{\alpha^j+\alpha^{-j}-2}{32}$, dove $\alpha=(1+\sqrt{2})^4=17+12\sqrt{2}$. Esercizio sulle equazioni di Pell ben alla portata dell'olimpionico ambizioso; basta fare qualche sostituzione, risolvere l'equazione di Pell e risostituire all'indietro.

B) Avendo l'espressione esplicita di $a_{1,j}$ si ha un'espressione esplicita di $a_{2,j}$, e quindi anche del limite da calcolare, che è un rapporto di polinomi in $\alpha^j$ e $\alpha^{-j}$, a questo punto visto che $|\alpha|>1$ il limite è il rapporto tra i coefficienti di testa, che è proprio $\alpha$. Questi sono solo un po' di conti di becera manipolazione delle formule.

C'è qualcosa che mi sfugge o che non ho capito? Stavi facendo dell'altro? Che cos'hai dimostrato in quei lunghissimi post che mi inchiodano firefox?

[afullo]

Il limite di quella quantità l'ho voluto calcolare per motivare rigorosamente un lavoro del 2003 nel quale mi ero ricavato tutti i numeri sia triangolari che quadrati fino a 10^15 con un semplice foglio di calcolo, utilizzando un metodo empirico che sfruttava proprio il fatto che $ a_{1,j} $ e $a_{2,j}$ tendessero a quel limite (avevo semplicemente osservato che così accadeva, non avevo ancora i mezzi per dimostrarlo).

In quei post (che ora ho messo tra hide perché effettivamente rallentavano notevolmente il caricamento) facevo soltanto una generalissima premessa per spiegare cosa stavo facendo, in modo tale che anche l'utente non esperto in materia potesse capirci qualcosa visto che sono partito da piuttosto indietro (a quanto pare ho ottenuto l'effetto contrario ), e dimostravo il limite per $a_{1,j}$.

La formula in A) come l'hai ricavata? Premetto che la mia ambizione olimpionica si è infranta ad un punto dall'oro già un lustro fa...
Poi sì, dato per assunto il risultato di A), quello di B) segue in maniera piuttosto straightforward.

[FrancescoVeneziano]

Beh, seguendo la tua notazione arrivo a $t^2-2s^2=1$. La teoria delle equazioni di Pell ci dice che le soluzioni (positive) sono $t_j+s_j\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^j$ perché l'unità fondamentale del campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ è $1+\sqrt{2}$ che ha norma -1, e il suo quadrato è $3+2\sqrt{2}$.
Da quello sommando o sottraendo per il coniugato ho $$t_j=\frac{(3+2\sqrt{2})^j+(3-2\sqrt{2})^j}{2}$$ e $$s_j=\frac{(3+2\sqrt{2})^j-(3-2\sqrt{2})^j}{2\sqrt{2}},$$ e si osserva facilmente (induzione) che i $t_j$ sono sempre dispari e gli $s_j$ sempre pari. Adesso risostituisco per avere n e m, ed il numero contemporaneamente triangolare e quadrato è n^2 (o m(m+1)/2), e se non ho sbagliato i conti viene proprio quello che ho scritto prima.

[afullo]

Capito, grazie. Per il punto B), si è rivelato più tosto di quanto mi aspettavo. Il limite l'ho ricavato, ma c'è un metodo più breve di quello che ho esplicitato nell'hide?

Testo nascosto:

$ $

$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,j-1}}{a_{2,j}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}-\frac{a_{1,j-1}}{a_{1,j-2}}}
{\frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}}-\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}
-\frac{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}{\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2}}
{\frac{\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2}{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}
-\frac{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}} $$
dove abbiamo implicitamente semplificato il $32$ ovunque. \\
Facendo denominatore comune sia sopra che sotto:
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}
-\frac{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}{\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2}}
{\frac{\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2}{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}
-\frac{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)
- (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)^2}
{(\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}}
{\frac
{(\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)
-(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)^2}
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)}} $$
Scriviamo questa quantità in una maniera più comprensibile:
{\footnotesize
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty}
\left( \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)
- (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)^2}
{(\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)
- (\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)^2}
\cdot \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)}
{(\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}
\right) $$
}
Per prima cosa nel fattore di destra si ha una semplificazione che porta a:
{\footnotesize
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty}
\left( \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)
- (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)^2}
{(\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)
- (\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)^2}
\cdot \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)}{(\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}
\right) $$
}
Calcolando esplicitamente il fattore di sinistra si ottiene:
{\footnotesize
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \left( \frac
{ \alpha^2 - 2\alpha^j + \alpha^{-2} - 2\alpha^{-j} - 2\alpha^{j-2}
+2\alpha^{2-j} - 2 + 4\alpha^{j-1} + 4\alpha^{1-j} }
{ \alpha^2 - 2\alpha^{j+1} + \alpha^{-2} - 2\alpha^{-1-j}
- 2\alpha^{j-1} + 2\alpha^{1-j} - 2 + 4\alpha^{j} + 4\alpha^{-j} }
\cdot \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)}{(\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}
\right) $$
}
A questo punto, in entrambi i fattori possiamo, essendoci il limite, passare a considerare solo gli elementi che dipendono da $j$ e nei quali la stessa quantità ad esponente compare con segno positivo, essendo gli altri trascurabili nei confronti di essi rispetto alle operazioni che vengono compiute.
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \left( \frac
{ -2\alpha^j - 2\alpha^{j-2} + 4\alpha^{j-1} }
{ -2\alpha^{j+1} - 2\alpha^{j-1} + 4\alpha^{j} }
\cdot \frac {\alpha^j}{\alpha^{j-2}} \right)
= (\alpha^{-1} \cdot \alpha^2) = \alpha $$
osservando semplicemente che, nel fattore a sinistra, la quantità a numeratore può essere raccolta a denominatore lasciando appunto fuori un $\alpha$.

Anche perché poi vorrei definire delle quantità $a_{h,j}$, per un $h$ generico, come un opportuno rapporto di quantità in $a_{h-1,k}$, dove $k=j-2, j-1, j$, e dimostrare (per induzione?) che il limite di $\alpha$ vale anche per esse per ogni $h$. Se ci fosse il modo di operare in maniera più semplice forse mi potrebbe aiutare anche per quello...