Disuguaglianza esponenziale che mi sta facendo ammattire

[amatrix92]

$ x^y + y^x > 1 $

con $ x $ e $ y $ reali positivi.

Vorrei vedere una soluzione elementare, al limite se le avete prorponete anche soluzioni che NON implichino analisi II.

[dario2994]

Ma esattamente cosa bisogna fare?

[Claudio.]

Disuguaglianza...dimostrare che è vera sempre...(reali positivi)

[Mist]

ma va, non è sempre vera quella roba lì, bisognerà trovare, come per quelle scolastiche, per quali (insiemi di) valori di x e y vale quella cosa lì...

[dario2994]

Oddio è sempre vera Non c'avevo pensato

[amatrix92]

Oddio è sempre vera Non c'avevo pensato

Sì è sempre vera, scusate non l'avevo specificato.

[Claudio.]

Credo proprio che il post di Dario fosse ironico...

[dario2994]

Ero serio: non avevo capito che era vera sempre (non c'avevo proprio pensato)

[Mist]

Mio dio, che cazzata che ho fatto mi sembrava troppo facile.....

[Claudio.]

...$\sqrt{(1-\alpha)^{1-\beta}(1-\beta)^{1-\alpha}} = \sqrt{(1-\alpha)^{1-\alpha}(1-\beta)^{1-\beta}}$...

?
E poi precisamente la sostituzione a cosa è servita?

[amatrix92]

...$\sqrt{(1-\alpha)^{1-\beta}(1-\beta)^{1-\alpha}} = \sqrt{(1-\alpha)^{1-\alpha}(1-\beta)^{1-\beta}}$...

Non riesco a capire il perchè di questo passaggio (che non mi sembra nemmeno vero)

[Mist]

Infatti non lo è [vero], e ho editato...

[staffo]

bah, perchè non postare sta sparata...

allora, derivo secondo x, tenendo fissa y, e derivo secondo y, tenendo fissa x, la funzione $ f(x,y)=x^y+y^x $
ottengo:
$ \frac{\delta f(x,y)}{\delta x}=yx^{y-1}+y^xlny $
$ \frac{\delta f(y,x)}{\delta y}=xy^{x-1}+x^ylnx $
li pongo uguali a zero e, ponendoli a sistema, siccome sono uno il simmetrico dell'altro, ottengo che il sistema è verificato per x=y, dove quindi la funzione assume minimo (ci sarebbe da determinare per vedere e è minimo o massimo il determinante di una matrice etc.. che ho letto oggi, ma prendetelo per vero che è il minimo)

Posso dunque sostituire in quella iniziale y-->x e ottengo $ 2x^x>1 $
ed ora qui è tutto più facile, derivo la funzione e ottengo il minimo in $ x=\frac{1}{e} $, che, sostituito in quella inziale, mi da come valore $ 2(\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}} $ che è maggiore di 0.

Certo come soluzione sfrutta un po' di analisi, soprattutto non so se in maniera corretta, però mi sembra plausibile.

[Claudio.]

Chi ti dice che i punti di derivata nulla siano i punti di minimo o massimo?

[staffo]

forse Fermat tutti i punti di minimo e di massimo hanno derivata nulla, fatta eccezione per i punti all'estremo del dominio, che qui so che per x e y tendenti a 0 il punto $ x^y+y^x-->2 $ e i punti all'infinito tendono all'infinito. poi ci sarebbero i punti x-->0 e y variabile, e y-->0 e x variabile, che in effetti danno un po' di problemi; mah, a sto punto mi sa che la soluzione è ricca di imprecisioni...

EDIT: allora, quello scritto nel post sopra ok, ora valuto i limiti per x-->0 e y-->0 che sono gli estremi del dominio, e quindi i punti di minimo e massimo, al più, se non sono quelli di derivata uguale a zero saranno quelli;

allora $ lim_{x-->0;y-->0} x^y+y^x=1 $
ora ponendo la x (o la y) tendente a zero, avrò che la funzione assume valore minimo per y (o x) tendenti ad uno, e tenderanno ad uno, ma da sopra, quindi la funzione sarà positiva (non riesco a formalizzare bene sto punto, mi mancano un po' gli strumenti)...

EDIT: trascuratemi, penso di aver scritto tante cavolate...