Staffetta Algebra 36° Problema

[amatrix92]

Siano dati $ 2 $ numeri $ a>0 $ e $ b>0 $. Trovare il minimo valore di $ y>a $ tale che se $ x \neq 0 $ allora $ |x-y|\leq a\ \implies \left|\frac 1x-\frac 1y\right|\leq \frac 1b $

[jordan]

Siano dati $ 2 $ numeri $ a>0 $ e $ b>0 $. Trovare il minimo valore di $ y>a $ tale che se $ x \neq 0 $ allora $ |x-y|\leq a\ \implies \left|\frac 1x-\frac 1y\right|\leq \frac 1b $

Sia $ k:=y-a>0 $ allora per ogni $ x \in [k,k+2a] $ deve valere $ |x^{-1}-y^{-1}|\le b^{-1} $. La funzione $ f(x):=|x^{-1}-y^{-1}| $ definita sull'intervallo chiuso $ [k,k+2a] $, essendo strettamente decrescente in $ [k,y] $ e strettamente crescente in $ [y,y+a] $ può assumere massimo solo agli estremi. E' facile vedere che $ f(k)>f(2a+k) $: infatti essa risulta verificata se e solo se $ \displaystyle \left|\frac{1}{k}-\frac{1}{a+k}\right|>\left|\frac{1}{2a+k}-\frac{1}{a+k}\right| $, cioè se e solo se $ \displaystyle \frac{1}{k}+\frac{1}{2a+k}>\frac{1}{\frac{a+k}{2}}+\frac{1}{\frac{a+k}{2}} $ (e difatti una fuzione della forma $ \frac{1}{z}+\frac{1}{w} $ con $ z+w $ fissato assume minimo solo se $ z=w $, per diretta conseguenza di HM-AM). Il problema si è ridotto a cercare quindi il più piccolo $ k>0 $ tale che $ k^{-1}-(a+k)^{-1}\le b^{-1} $. E' immediato concludere che $ \displaystyle y=\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{4}+ab} $. []

Ps. Aspetto conferme prima di postare il prossimo

[amatrix92]

Sì direi prorprio che puoi procedere con il prossimo mi sembra tutto corretto.

Un'unica cosa in questa frase:

(e difatti una fuzione della forma $ \frac{1}{z}+\frac{1}{w} $ con $ z+w $ assume minimo solo se $ z=w $, per diretta conseguenza di HM-AM)

ti sei per caso scordato di scrivere qualcosa sopo $ z+w $? Perchè non capisco il discorso.

[<enigma>]

Sì direi prorprio che puoi procedere con il prossimo mi sembra tutto corretto.

Un'unica cosa in questa frase:

(e difatti una fuzione della forma $ \frac{1}{z}+\frac{1}{w} $ con $ z+w $ assume minimo solo se $ z=w $, per diretta conseguenza di HM-AM)

ti sei per caso scordato di scrivere qualcosa sopo $ z+w $? Perchè non capisco il discorso.

Ovviamente s'intende $ z+w $ fissato.

[jordan]

Ovviamente s'intende $ z+w $ fissato.

Si, correggo subito..