Luogo dei punti

[amatrix92]

Siano $ A $ e $ B $ due punti nel piano. Determinare il luogo dei punti $ P $ tali che $ PA = PB ^2 $

[Homer J Simpson]

prendo il segmento $ AB^2 $ il suo punto medio è $ [(x_a + x_b)/2 ; (y_a + y_b)/2] $

ora metto da parte quell'informazione e ricavo la retta AB^2

eq. retta:

$ y = px + q $

$ y_a = px_a + q $

$ q = y_a - px_a $

$ y = px + y_a - px_a $

$ y_b = px_b + y_a - px_a $

$ y_b - y_a = px_b - px_a $

$ p = (y_b - y_a) / (x_b - x_a) $

$ y = [(y_b - y_a) / (x_b - x_a)]x + [y_a - [(y_b - y_a) / (x_b - x_a)]x_a] $

ma a me di tutto questo importava solo il coefficiente angolare che ora so che è $ p = (y_b - y_a) / (x_b - x_a) $ prendo il contronominale (l'inverso del reciproco)

$ p = - (x_b - x_a) / (y_b - y_a) $

e ora mi ricavo la retta passante per $ [(x_a + x_b)/2 ; (y_a + y_b)/2] $ con coefficiente angolare $ p = - (x_b - x_a) / (y_b - y_a) $

$ y = px +q $

$ (y_a + y_b)/2 = [- (x_b - x_a) / (y_b - y_a) \cdot (x_a + x_b)/2] + q $

$ q = (y_a + y_b)/2 - [- (x_b - x_a) / (y_b - y_a) \cdot (x_a + x_b)/2] $

quindi la soluzione dell'esercizio è:

$ y = [- (x_b - x_a) / (y_b - y_a) ]\cdot x + [(y_a + y_b)/2 - [- (x_b - x_a) / (y_b - y_a)] \cdot (x_a + x_b)/2] $

l'equazione fa un pò schifo, ma dovrebbe essere giusta

p.s.

quando dico all'inizio: prendo il segmento $ AB^2 $ il suo punto medio è $ [(x_a + x_b)/2 ; (y_a + y_b)/2] $

con $ x_b $ intendo $ b^2 $ non $ b $ ecc... ecc...

[Anér]

Scusate, ma non ho capito il problema e meno che mai la soluzione. Il problema ha un'equazione non omogenea, ma questa ha significato solo se si assegna una lunghezza reale positiva ai segmenti del piano (magari con un sistema di assi cartesiani), insomma bisogna fissare un segmento e stabilire che è lungo 1, ovvero che è l'unità di misura. La soluzione parla del punto medio del quadrato di un segmento, cosa bisogna intendere? E finisce dicendo che $ x_b $ non è $ b $ ma $ b^2 $, anche qui che significa?

[amatrix92]

mmm dici che è necessaria come ipotesi la lunghezza di AB? Io avevo provato a risolverlo facendo più casi, comunque allora risolvere prima il caso in cui AB=1 e poi semmai generalizzare.

[Homer J Simpson]

Scusate, ma non ho capito il problema e meno che mai la soluzione. Il problema ha un'equazione non omogenea, ma questa ha significato solo se si assegna una lunghezza reale positiva ai segmenti del piano (magari con un sistema di assi cartesiani), insomma bisogna fissare un segmento e stabilire che è lungo 1, ovvero che è l'unità di misura. La soluzione parla del punto medio del quadrato di un segmento, cosa bisogna intendere? E finisce dicendo che $ x_b $ non è $ b $ ma $ b^2 $, anche qui che significa?

no, non sapevo come scriverlo ma con $ AB^2 $ intendo il segmento con estremi $ A $ e $ B^2 $
e con la nota finale intendo $ x_b $ con b ascissa di $ B^2 $ e non di $ B $ ecc...

[Sonner]

Non ho capito, ma allora questo $ B^2 $ ha coordinate $ (x^2_B, y^2_B) $?

[Homer J Simpson]

Non ho capito, ma allora questo $ B^2 $ ha coordinate $ (x^2_B, y^2_B) $?

si, credo che sia giusto farlo così, poi magari ho preso un'abbaglio...

[Homer J Simpson]

ho appena capito di aver sbagliato... in pratica il prooblema è che il segmento $ PB $ deve essere il quadrato del segmento $ PA $?

io avevo capito che il la distanza di $ PA $ deve essere guale alla distanzadi $ P $ dal quadrato di $ B $

deve essere per quello che non ci capivamo...

p.s.

se è così ho sbagliato tutto

se invece è come l'avevo capito all'inizio ho fatto tutto giusto

[amatrix92]

INfatti rileggevo e rileggevo il tuo testo senza riuscire a centrare cosa stavi facendo. No il problema lo hai male interpretato come hai già notato.

[jim]

Solo per sapere: il problema l'hai inventato tu, o l'hai preso da qualche parte?, perchè se non ho sbagliato qualcosa viene una curva bruttina, con parecchi contazzi... (non una conica, insomma..).. giusto per avvisare chi ha intenzione di cimentarsi..

[EvaristeG]

Ok, il primo problema, quello che pone Aner, si risolve dicendo che non si possono usare le omotetie per far diventare AB lungo 1 come invece si fa con luoghi di equazione omogenea. Però mi sorge un dubbio: mettiamo che A sia (0,0) e B sia (0,s). allora la richiesta è
$$x^2+y^2=(x^2+(y-s)^2)^2$$
ovvero
$$x^4+y^4+2s^2x^2+2y^2x^2+6y^2s^2-4x^2sy-4y^3s-4s^3y-x^2-y^2=0$$
e per $x=0$ si ha
$$y^4+6y^2s^2-4y^3s-4s^3y-y^2=0$$
ovvero
$$y(y^3-4y^2s+6ys^2-y-4s^3)=0$$
ad esempio, per s=1/4 questa cosa ha 4 soluzioni...quindi, se è elementare, è unione di rette e coniche e dunque il polinomio di partenza dovrebbe fattorizzarsi. Ma si verifica che per s=1/4 quel coso è irriducibile.
dunque, l'esercizio consisteva solo nello svolgere quel calcolo e arrivare all'equazione che ho scritto?

[amatrix92]

L'esercizio originale era un es di una gara a squadre, in cui i due punti erano a distanza 1 e chiedeva il valore minimo e massimo di PB. Volevo provare a generalizzare, innanzi tutto trovando un luogo dei punti generico, e poi semmai a distanza $ d $ piuttosto che 1.

[Anér]

Quello che volevo dire è che la geometria euclidea (almeno credo) non definisce in alcun modo quale sia il segmento lungo 1; nel piano euclideo non possiamo dire che due punti distano 4, ma solo che un segmento è il quadruplo di un altro. Se però scegliamo una unità di misura, ossia scegliamo un segmento e imponiamo che sia lungo 1, e scegliamo anche una coppia ordinata di rette perpendicolari, possiamo trasformare il nostro piano euclideo in piano cartesiano. Insomma, penso che le ipotesi del problema debbano essere "Dati A e B nel piano cartesiano" e non nel piano.

[amatrix92]

Ahhh, grazie della brillante spiegazione, non avevo capito dal post precendente questa cosa. Bhe allora scusate l'incorrettezza, e siano questi punti dati su un piano cartesiano; mi sembra però che la curva trovata da E.G sia corretta.