Costruzioni con la squadra

[Anér]

Con una squadra possiamo tracciare la retta per due punti, intersecare rette non parallele, tracciare la perpendicolare a una retta r data per un punto P dato, ove P non appartiene necessariamente a r.
Dimostrare che:
1) Data una retta r e un punto P esterno ad essa, possiamo costruire la retta per P parallela a r.
2) Dato un segmento possiamo costruirne il punto medio.
3) Dato un segmento lo possiamo dividere in n parti uguali, ove n è un intero positivo.
4) Dato un segmento possiamo costruire un triangolo isoscele avente i lati obliqui pari al segmento.
5) Dato un triangolo possiamo costruire l'ortocentro, il baricentro, il circocentro.
6) Data una semiretta r di origine O e un segmento s parallelo a r, possiamo costruire il punto P su r tale che OP abbia la stessa lunghezza di s.
7) Date tre rette a,b,x a due a due non parallele possiamo costruire la retta y in modo che l'angolo tra le rette a e b sia uguale a quello tra le rette x e y.
8) Non possiamo bisecare un generico angolo.
9) Non possiamo costruire un angolo di 60°.
10) Non possiamo costruire un angolo di 45°.
11) Possiamo verificare che due segmenti perpendicolari siano congruenti, ma non costruirne uno perpendicolare e congruente ad un altro.

[amatrix92]

MI piace questo topic!

Puoi definire squadra? Non capisco se intendi la riga o la squadra con gli angoli a 30 e 60 ? E poi una squadra vuol dire SOLO una?

In ogni caso intendendo riga e solo una provo a rispondere:

1) Traccio la perpendicolare ad r per P che chiamo s e ora traccio la perpendicolare ad s in P

[Gigi95]

2) Traccio le perpendicolari per gli estremi del segmento AB, prendo un punto P su una di esse, traccio la retta parallela ad AB per P e ottengo il rettangolo ABPQ.
traccio le diagonali che si incontrano in R e la perpendicolare ad AB per R che incontra AB nel punto medio.

[Anér]

Ok, i primi due punti sono andati. Con una squadra si possono fare solo angoli retti, niente 30°, 60°, 45°. La squadra comprende anche la riga; puoi usare quante squadre vuoi, non cambia molto.

[Hawk]

Per il punto tre sfrutterei i principi derivanti dal teorema di talete, per cui un fascio di rette parallele tagliate da trasversali determina dei segmenti proporzionali. Costruisco un segmento AB, dall'estremo A conduco una semiretta s in modo che formi un qualunque angolo acuto con AB. Poi su s, a partire da A, si costruiscono usando una riga, tanti segmenti adiacenti uguali quanti sono quelli con cui vogliamo dividere AB, ad esempio 8, congiungiamo l'estremo del segmento 8 con B, e da tutti gli estremi dei segmenti su s si costruiscono le parallele a 8B sino ad incontrare il segmento AB.

[Anér]

Va bene, ma specifica come costruisci n segmenti uguali su s.

[patatone]

belle le costruzioni!
Per costruire 2 segmenti uguali consecutivi (e quindi anche n iterando il procedimento) si può fare cosi:
dato un segmento AB e la retta r su cui si trova costruisco la perpendicolare a r in B (che chiamo s). Prendo un punto P su s e costruisco il punto medio di PB, che chiamo M. Ora interseco la parallela a r passante per P e la retta AM, chiamo K l'intersezione. Infine chiamo C l'intersezione tra la perpendicolare a r per il punto K ed r.
Per similitudine tra triangoli, avrò che AB=BC e quindi ho finito

[spugna]

4)Tracciata una retta passante per A mando la perpendicolare a essa passante per B e chiamo M il punto di intersezione. Ora "duplico" il segmento BM col metodo proposto da patatone e ottengo la base del triangolo

[paga92aren]

Il 5 diventa banale fatti i primi 4: basta applicare la definizione di baricentro, circocentro e ortocentro (sappiamo fare la perpendicolare, il punto medio e la retta per due punti)

[paga92aren]

6) se il segmento non appartiene alla semiretta (o al suo prolungamento) allora traccio il segmento AO (A e B sono gli estremi di s tali che il quadrilatero AOPB non sia intrecciato) e poi il parallelo per B che interseca r in P. per parallelismo AOPB è un parallelogramma e quindi AB=OP.

[Anér]

E se il segmento è sulla stessa retta di r?

[Sonner]

E se il segmento è sulla stessa retta di r?

Traccio una parallela qualsiasi t, "sposto" il segmento su t (tracciando una retta per A diversa da r e la sua parallela per B che intersecano t in A' e B') e lo risposto su r tracciando OA' e la parallela per B'.

7) Potrebbero esserci problemi di configurazione. Se sì, fatemelo notare e provvedo a sistemare
Un po' di nomi: $ O=a\cap b $, $ T=x\cap b $, $ Q=x\cap a $, P punto qualsiasi su x, P' e O' piedi delle perpendicolari da P e O rispetto a x e b. Allora OPO'P' è ciclico. Costruisco QR parallela a O'P' (con R appartenente a b) e OPQR è ancora ciclico, ma allora $ \angle RPQ = \angle ROQ $.

EDIT: corretto grazie

[Anér]

Penso che intendessi che R giace su b; potrebbe capitare che x passa per O, ma si aggiusta facilmente (basta sostituire x con una parallela a caso x').

Per i punti 8 e 9 può essere utile passare per il seguente punto, che può suggerire l'idea: dati due generici segmenti su una retta non possiamo costruire il loro medio proporzionale.

[Anér]

È passato un po' di tempo, quindi metto un aiutino nascosto:

Testo nascosto:

Quando si fa una costruzione si procede costruendo rette e punti in base ad elementi già costruiti oppure si scelgono rette e punti a caso, o ancora si può scegliere una retta a caso per un punto dato o un punto a caso su una retta. Dimostrare che ogni costruzione può essere adattata in modo che si debba scegliere a caso soltanto un insieme di punti nel piano, ovvero senza alcun vincolo.
Proviamo a piazzare un sistema di assi cartesiani; cosa accade se tutti i punti scelti a caso sono a coordinate razionali? Accade che anche tutti i punti costruiti e le rette costruite sono rispettivamente a coordinate razionali e di equazione a coefficienti razionali (motivare). Con questo si dovrebbero fare i punti 8 e 9. I punti 10 e 11 sono equivalenti tra loro (perché?) e si fanno con qualche idea in più e sempre con il piano cartesiano (o almeno io li ho fatti così).