Trovare tutte gli interi > 10, tali che spostando la cifra più a sinistra nell'ultima posizione otteniamo un nuovo che sia 7/2 volte più grande di quello originale.
(PTD Mathlinks / SouthAfrica 97')
Sposta le cifre
Sposta le cifre
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Re: Sposta le cifre
Chiamo $10^na + x$ il numero, con $x<10^n$ e $a≤9$, entrambi interi positivi. Deve valere $7(10^na + x) = 2(10x + a)$.
Risolvo per $x$ e ottengo $x=\frac{7a\cdot10^n-2}{13}$, da cui $a=1$, perché altrimenti $x>10^n$ contro le ipotesi.
Per cui si hanno numeri di questo genere per ogni $n$ tale che $7\cdot10^n≡2\pmod{13} → 10^n≡4\pmod{13}$, che, osservando i residui n-esimi $(10, 9, 12, 3, 4, 1)$, si scopre valere per $n≡5\pmod6$.
I numeri che vanno bene sono dunque tutti e soli quelli nella forma $10^{6n+5}+\frac{7\cdot10^{6n+5}-2}{13}$, con $n$ naturale.
Risolvo per $x$ e ottengo $x=\frac{7a\cdot10^n-2}{13}$, da cui $a=1$, perché altrimenti $x>10^n$ contro le ipotesi.
Per cui si hanno numeri di questo genere per ogni $n$ tale che $7\cdot10^n≡2\pmod{13} → 10^n≡4\pmod{13}$, che, osservando i residui n-esimi $(10, 9, 12, 3, 4, 1)$, si scopre valere per $n≡5\pmod6$.
I numeri che vanno bene sono dunque tutti e soli quelli nella forma $10^{6n+5}+\frac{7\cdot10^{6n+5}-2}{13}$, con $n$ naturale.
Re: Sposta le cifre
A riguardarlo, mi sembra più carino scriverlo come $$\frac{2(10^{6n}-1)}{13}$$ con $n$ intero positivo. 