Disuguaglianza che ha qualcosa di familiare

[matty96]

Provare che $$\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i^2+b_i^2} \geq \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)^2+\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^2}$$ indipendentemente dalla scelta dei valori $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ e $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ e con $n \in \mathbb{Z^+}$

[<enigma>]

Molto simpatica! Una via poco contosa è notare che

Testo nascosto:

LHS è la somma delle ipotenuse di triangoli di cateti $ a_i $ e $ b_i $ rispettivamente, mentre RHS è l'ipotenusa del triangolo di cateti $ \sum a_i $ e $ \sum b_i $.

[matty96]

Enigma,hai tolto il bello del problema!!(comunque si nota dal titolo del post quello che hai detto )

[<enigma>]

Enigma,hai tolto il bello del problema!!(comunque si nota dal titolo del post quello che hai detto )

E il bello del problema sarebbero i contazzi? Avresti preferito farla come "applichiamo 31 volte Cauchy-Schwarz+5 volte riarrangiamento+un paio di Karamata e abbiamo la tesi"?

[matty96]

non hai capito....intendevo che non dovevi far notare quella cosa, perchè da la esce una soluzione con pochi conti(cioè una soluzione elegante ed olimpica).

[matty96]

Dato che nessuno ci prova metto un piccolo hint:

Testo nascosto:

Come posso rappresentare questa situazione?

Però,giusto per completare un pò l'esercizio,indicare quando si ottiene l'uguaglianza

[patatone]

propongo 2 soluzioni, una mia e una che parte dall'idea di enigma:
1)elevo al quadrato e rimane da dimostrare che:
$\displaystyle 2\sum (\sqrt{(a_i^2+b_i^2)(a_j^2+b_j^2)})\ge 2\sum a_ia_j+2\sum b_ib_j$. (chiaramente in ogni sommatoria è sottinteso i diverso da j)
Ma $\sqrt{(a_i^2+b_i^2)(a_j^2+b_j^2)}=\sqrt{(a_ia_j+b_ib_j)^2+(a_ib_j-a_jb_i)^2}\ge a_ia_j+b_ib_j$
Quindi le sommatorie si elidono termine a termine e ho finito

2) vedendo il tutto nel piano cartesiano il LHS rappresenta una serie di segmenti consecutivi che parte da 0,0 e termina in $\sum a_i$,$\sum b_i$, quindi la tesi è vera per la disuguaglianza triangolare.

Se volete più dettagli chiedete pure, ma credo che sforzarsi di capire una soluzione un po' stringata possa essere anche utile

[matty96]

La tua soluzione mi sembra corretta.Quella di enigma.....è corretta pure,d'altronde anche io l'ho fatta come enigma.(all'inizio io avevo sbagliato a fare il grafico ,poi ho visto la soluzione originale,e a parte il grafico,l'idea era giusta)

[paga92aren]

Io ho pensato di usare CS $n\sum a_i^2 \geq (\sum a_i)^2$ e poi dividere per $n$: $\frac{\sum \sqrt{a_i^2+b_i^2}}{n}\geq \sqrt{\frac{\sum a_i^2+b_i^2}{n}}$ che è vera per Jensen.
E' giusta?

[patatone]

l'ultima disuguaglianza che hai scritto è QM-AM ma col verso sbagliato...