IMO 1979/1

[Euler]

Siano $m$, $n$ interi positivi tali che:
$\displaystyle \frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$
Dimostrare che $m$ è un multiplo di 1979.

[patatone]

carino come IMO 1 vecchio!
Innanzitutto noto che $\displaystyle 1-\frac 1 2+\frac 1 3....=1+\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 4...+\frac 1 {1319}-2(\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 6....+\frac 1 {1318})=$
$\displaystyle\sum_{i=1}^{1319}\frac 1 i-\sum_{i=1}^{659}\frac 1 i=\sum_{i=660}^{1319}\frac 1 i$.
Ora considero le coppie di termini simmetrici:
$\displaystyle (\frac 1 {660}+\frac 1 {1319})+(\frac 1 {661}+\frac 1 {1318})...+(\frac 1 {989}+\frac 1 {990})=$
$\displaystyle\sum_{i=660}^{989}(\frac 1 {i}+\frac 1 {1979-i})=\sum_{i=660}^{989}\frac {1979}{i(1979-i)}=1979\sum_{i=660}^{989}\frac 1{i(1979-i)}$.
Quindi $1979|m$

[Euler]

Identica alla mia

[julio14]

Beh, dovreste verificare che quella somma ha denominatore coprimo con 1979. Comunque non è una cosa così estrema da verificare.

[patatone]

diciamo che lo davo per scontato perchè 1979 è primo, comunque grazie della precisazione.
In che senso se m,n non sono coprimi il problema è banale? Forse intendi che è banale una volta fatto il caso m,n coprimi