PARADOSSI

cccp · Messaggio da **cccp** » 01 gen 1970, 01:33

voglio fare x la maturità scientifica una tesina sui paradossi... qualcuno sa darmi indicazioni su dove trovare del materiale su questo argomento.
 soprattutoto giochetti matematici ditipo paradossale , e paradossi classici della matematica (esclusi quelli arcinoti di zenone)
 GRazie

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Raymod Smullyan
 \"Donna o tigre?\"
 \"Qual\'è il titolo di questo libro?\"
 \"Satana, Cantor e l\'infinito\"
 
 Piergiorgio Odifreddi
 C\'era una volta un paradosso. Storie di illusioni e verità rovesciate
 Odifreddi Piergiorgio ; Einaudi
 euro 11,57 (Prezzo di copertina euro 14,46 Sconto 20%)
 
 Lo puoi comprare su www.internetbookshop.it
 
 Recensione:
 \"C\'era una volta un paradosso, ma ora il tempo l\'ha risolto\". Da questa affermazione di Amleto ad Ofelia, Odifreddi prende spunto per narrare storie sui paradossi che coinvolgono ogni aspetto della nostra vita: le illusioni dei sensi, le ambiguità dell\'arte, i dilemmi del comportamento, i tranelli del pensiero, le difficoltà della matematica. E che si nascondono dietro a nozioni comuni, eppure insidiose, quali la realtà, la verità, l\'infinito, la democrazia, la libertà. Ogni paradosso è un labirinto dello spirito e ogni storia vi si aggira fino a quando ne trova la soluzione.
 
 Paradossi della probabilità: v. Martin Gardner, \"Enigmi e giochi maematici\"
 
 Ciao

Davide_Grossi · Messaggio da **Davide_Grossi** » 01 gen 1970, 01:33

Magari l\'hai già visto, magari sono troppo banali, comunque: se guardi in questa sezione (compro, vendo, baratto, rido!), c\'è una discussione sul paradosso di Wang e altri...
 ciao!

cccp · Messaggio da **cccp** » 01 gen 1970, 01:33

grazie per le informazioni... la discussione sul forum l\'avevo già notata...
 per caso conoscete conoscete anche qualche pagina on line sui paradossi?
 
 grazie

cccp · Messaggio da **cccp** » 01 gen 1970, 01:33

A proposito lo sapevate che, definita la somma 1-1+1-1+1 ... all\'infinito = 1/2 .
 ossia lim n->infinito di 1 + (-1)^1 + (-1)^2 +... (-1)^n ... = 1/2
 poichè in generale 1+x+x^2+..x^n.. = 1/(1+x)
 si tratta di convergenza alla cesaro.. ma non chiedetemi cosa vuol dire <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_razz.gif">
 L\'ho scritto perchè è un isultato che mi ha incuriosito ma non ho capito bene il perchè e in che ambito sia valido

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Immagino che il tuo risultato si applichi solo per -1<x<1, e che sia in realtà 1/1-x e non 1/1+x (anche se nei casi in cui x<0 il segno risulta poi un +). Una serie converge se si avvicina indefinitamente ad un numero, la tua serie invece mantiene sempre la stessa distanza da 1/2.
 La formula discende direttamnete dalla formula per la sommatoria delle potenze: sum (i=0, n) x^i = 1+x^1+x^2+...+x^n= [1-x^(n+1)]/(1-x), e al tendere di n all\'inf il numeratore tende a 1 se x<1 in valore assoluto.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-03-20 13:13 ]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Voglio dire che si applica solo se x è strettamente compreso tra -1 e +1, ma questo viene censurato se lo scrivo in simboli

Lucio · Messaggio da **Lucio** » 01 gen 1970, 01:33

cccp: eeeeh?
 Quella là si chiama la serie di (-1)^n e non converge (condizione necessaria xché converga una serie (somma infinita dei termini di una successione) è che la successione tenda a 0).
 Altro motivo è che (lim (n->inf) somma (j da 0 a n)), se sai la definizione di limite di una successione, non esiste.
 Dove hai visto quella cosa lì?

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

E mi è stato censurato anche il fatto che il \"risultato\" di cccp doveva essere che lim=1/(1-x) e non 1/(1+x), come si evince da quello che ho scritto dopo.
 Spero che cccp si sia chiarito un po\' le sue confuse idee <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">

camma · Messaggio da **camma** » 01 gen 1970, 01:33

In effetti la cosa detta da cccp, e\' sbagliata, ma non del tutto.
 Non si puo\' dire che la serie somme di (-1)^n converge, ma si puo` dire che converge nel senso di Cesaro.
 Parlando \"filosoficamente\" si potrebbe dire che la serie non converge, ma se proprio dovesse convergere allora convergerebbe a 1/2.
 Vediamo di formalizzare la questione da un punto di vista piu\' matematico. Sia data una successione a_n. In realta\' noi abbiamo una serie, ma da una serie possiamo ricavare una successione in cui l\'n-esimo termine e\' la somma dei primi n termini della serie. La serie converge se e solo se la successione delle somme parziali converge. In questo caso la serie delle somme parziali e\' 1,0,1,0.......
 Associamo ad una successione a_n una successione b_n tale che b_n e\' la media dei primi n termini della successione a_n.
 in questo caso b_0=1, b_1=1/2, b_2=2/3, b_3=1/2 etc.
 Si dice che a_n converge secondo Cesaro ad un lmimite L
 se la successione b_n converge in senso classico a L. In questo caso e\' facile dimostrae che b_n converge in senso classico ad 1/2, per cui la successione a_n converge secondo Cesaro ad 1/2. E\' inoltre facile abbastanza facile dimostrare (basta avere una chiara definizione di cosa e\' un limite), che se a_n converge in senso classico a L, essa converge anche secondo Cesaro a L. Nel nostro caso, sapenso che b_n converge in senso classico 1/2, e quindi a_n converge secondo Cesaro ad 1/2, possimo concludere che se a_n converge in senso classico, allora converge ad 1/2. Come osservava giustamente Lucio e\' facile far vedere che nel nostro caso a_n non converge, ma possimo dire (affermazione poco matematica) che \"moralmente\" converge ad 1/2. esistono persino delle successioni non limitate che convergono secondo cesaro. Ad esempio una successione del tipo 1,0 ... 0,2,0, ......, 0,3,0,........0,4,0.... se il numero di zeri tra un intero e l\'altro e\' abbastanza grande converge secondo Cesaro a 0 pur non essendo limitata.
 Si possono definire anche criteri di convergenza secondo Cesaro di ordine superiore. Ad esempio prendendo c_n la successione in cui l\'n-esimo termine e\' la media dei primi n termini di b_n. Allora a_n converge secondo Cesaro all\'ordine 2 se b_n converge secondo Cesaro all\'ordine 1, cioe\' se c_n converge in senso classico, e cosi\' via. \"Allisciando\" via via la successione si ottiene che una nozione di convergenza valida per un sempre maggior numero di successioni.
 Per le serie esiste persino una nozione di convergenza secondo Cesaro di \"ordine infinito\". Prendiamo una serie somme di a_n. Associamoli un altra serie uguale a somme di a_n*r^n. Se r e\' piu\' piccolo di 1 questa serie converge in un grande numero di casi (anche quando a_n non e\' infinitesima o addirittura in certi casi quando a_n tende all\'infinito). chiamiamo S(r) il limite della serie in funzione di r. Se esiste il limite per r che tende a 1 da sinistra di S(r) ed e\' uguale ad L diciamo che la serie somme di a_n tende a L secondo Abel. nel nostro caso abbaimo che se r e\' piu\' piccolo di 1 somme di (-1)^r*r^n converge a 1/(1+r). Il limite di questa funzione per r che tende ad 1 e\' ovviamente uguale ad 1/2, per cui la nostra serie converge secondo Abel a 1/2. E4 vero (ma e\' piu\' comlicato da dimostrare che se una serie (cioe\' la successione delle sue somme parziali) converge a L secondo Cesaro (per qualsiasi ordine), allora la serie converge a L secondo Abel. Esistono (anche se non ho voglia di trovare il controesempio) serie che non convergono secondo Cesaro per nessun ordine ma convergono secondo Abel.
 Quindi anche se dire che la nostra serie converge a 1/2 e\' SBAGLIATO, cccp ha il supporto di ben due grandi matematici (Cesaro e Abel) secondo i quli invece quella serie converge e converge ad 1/2.
 Complimenti per essere arrivati fino in fondo!
 Se ho detto qualche imprecisione fatemelo sapere. comunque la sostanza del discorso e\' giusta.
 Ciao