Dato un quadrato ABCD si prendano due punti E e F, rispettivamente su BC e sul prolungamento di CD, in modo che A,E e F siano allineati. Detto G il punto medio di BE, si dimostri che:
1)la retta FG è tangente alla circonferenza inscritta in ABCD;
2)FG e DE si incontrano in un punto che giace sulla circonferenza circoscritta ad ABCD.
Piccolo hint per la seconda tesi:
Testo nascosto:
Trovare una relazione tra gli angoli CGF e CDE...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
L'ho fatto in analitica ma è un po' lunghetto, esiste una soluzione sintetica?
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
In effetti ricordo che nel risolverlo la prima volta mi erano venuti dei calcoli abbastanza brutti, infatti ho messo questo problema per vedere se qualcuno avrebbe trovato una soluzione decente... Ora, riprovandoci, ne ho trovata una decisamente migliore per la prima parte... Vedo cosa riesco a fare con la seconda
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Allora, la prima parte si fa tranquillamente con poca trigonometria. Chiamate $M$ il punto medio di $CD$ e indicate con $R$ il raggio della circonferenza inscritta, con $a$ la distanza $MF$. Allora
$FG$ è tangente se e solo se $G\widehat{F}M=2\alpha$ e $\tan \alpha=R/a$. Quindi
$$\tan(2\alpha)=\frac{2Ra}{a^2-R^2}$$
Dunque $GC=\tan(2\alpha)(a-R)=\frac{2aR}{a+R}$.
Quindi poniamo $GC=2R-h$, allora $h=2R-CG=\frac{2R^2}{a+R}$. Da cui
$$BE=2BG=2h=\frac{4R^2}{a+R}$$
e quindi
$$EC=2R-BE=\frac{2aR-2R^2}{a+R}=2R\frac{a-R}{a+R}$$
e dunque è evidente che $AB/BE=CF/EC$.
