Diofanto - e non è una bestemmia - docet/ 2

[lordgauss]

Vediamo.
<BR>Fino a
<BR>
<BR>\"4j^2+1+12x+6x^2=d^3, dove d e\' un numero dispari;
<BR>d^3==d (mod 4)\"
<BR>
<BR>mi pare davvero tutto ok. Da notare che d=x+2.
<BR>
<BR>Però poi non mi convinci; infatti scrivi:
<BR>
<BR>x+3==4(j^2+3x+x^2)+2x^2+1 (mod 4)
<BR>
<BR>mentre credo che si abbia
<BR>
<BR>d==4j^2+1+12x+6x^2 (mod 4) da cui
<BR>d==4(j^2+3x+x^2)+2x²+1 (mod 4) e sostituendo
<BR>x+2==4(j^2+3x+x^2)+2x^2+1
<BR>
<BR>Ho ragione?
<BR>
<BR>Ciao

[Rhossili]

...ci rinuncio, se sono cosi\' idiota da confondere un 2 con un 3, allora e\' meglio che passi a qualcos\'altro...
<BR>Avete visto il film \'beautiful mind\' ? (non so il nome in italiano)
<BR>Parla della travagliata vita di John Nash, un matematico che negli anni 50 ha rivoluzionato la concezione dell\' economia... bella storia, ma parecchi errori matematici (...\'gli zeri della funzione zeta di Riemann corrispondono a discontinuita\' nello spazio tempo\'...cerrrrrrto! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> )
<BR>ciao
<BR>-aspetto con impazienza la soluzione
<BR><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-03-18 20:39 ]</font>

[Rhossili]

... E COMUNQUE NON MI FACCIO PRETE!!!

[lordgauss]

Rhossili, NON DESISTERE!
<BR>
<BR>... affrettatevi, la soluzione si avvicina...

[FrancescoVeneziano]

Basta, ho cominciato a sognare questa equazione di notte, ho controllato tutte le congruenze ma riesce sempre a sfuggirmi.
<BR>Questi sono i miei risultati al momento:
<BR>x=1mod4
<BR>x=0mod3
<BR>x^3=1mod7, da cui x=1/2/4mod7
<BR>x=9mod12
<BR>Che, se non mi sbaglio, si combinano nel terrificante x^3=57mod84
<BR>Per quanto riguarda y:
<BR>y=0mod2
<BR>y^2=1mod7 da cui y=1/6mod7
<BR>y^2=7mod9 da cui y=4/5mod9
<BR>Ed inoltre x non può essere multiplo di 5, né uguale a 1mod5
<BR>Non garantisco al 100%, perché potrei aver fatto qualche errore, ma dovrebbero essere giuste.
<BR>Purtroppo mi sembra che questo non basti, né ho ben capito come sfruttare l’indizio (mod3 ho ricavato ben poco, mod7 un po’ di più, ma non abbastanza, e non ho intenzione di studiare l’equazione pure mod11).
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>

[lordgauss]

Ed ecco infine giunto il momento della soluzione... diamo per scontato che x sia dispari, visto che è gia stato dimostrato.
<BR>
<BR>y²=x³+7 sommo 1 ad ambo i membri
<BR>
<BR>y²+1=x³+8 scompongo
<BR>
<BR>y²+1=(x+2)(x²-2x+4) raccolgo
<BR>
<BR>y²+1=(x+2)[(x-1)²+3]
<BR>
<BR>Ovviamente (x-1)²+3 è un numero della forma 4k+3: pertanto ha almeno un fattore primo del tipo 4k+3, perchè il prodotto di più numeri della forma 4k+1 è sempre un numero della forma 4k+1.
<BR>
<BR>Vale dunque la congruenza y²==-1 (mod p) dove p=4k+3, ma ciò è impossibile, come abbiamo detto.
<BR>
<BR>Soddisfatti?
<BR>

[teo]

SI
<BR>ma resta un po\' di amaro in bocca !
<BR>
<BR>ciao <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon27.gif">

[DD]

Ci dimostri che y^2==-1 mod (4k+3) è impossibile?

[Gauss]

Si può dimostrare così. Sia p è un primo tale che p==3 (mod 4) e x un intero tale che x^2==-1 mod p.
<BR>Si avrà (naturalmente x sarà primo con p) che:
<BR>x^(p-1)==(x^2)^(p-1)/2==(-1)^(p-1)/2
<BR>Ora visto che se p è un primo nella forma detta (p-1)/2 è dispari si avrà che (-1)^(p-1)/2 sarà == -1. E questo contraddice il piccolo teorema di fermat.
<BR>

[DD]

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