Staffetta geometria: Problema 4

[bĕlcōlŏn]

Essendo giusta la soluzione al problema 3, vi propongo il 4.

$ \textbf{Problema 4} $
Sia $B$ un punto su una circonferenza $\gamma$. Sia $A$ un punto distinto da $B$ preso sulla tangente condotta da $B$ alla circonferenza. Sia $C$ un punto che NON appartiene a $\gamma$, tale che $AC$ interseca $\gamma$ due volte. Sia $\omega$ la circonferenza che tange la retta $AC$ in $C$ e la circonferenza $\gamma$ in $D$, in maniera tale che $\omega$ è nel semipiano di origine $AC$ opposto a quello in cui si trova $B$. Dimostrare che il circocentro di $BCD$ giace sulla circonferenza circoscritta a $ABC$.

[paga92aren]

Definizioni: O è il centro di $\gamma$, O' il centro di $\omega$, $\Gamma$ la circonferenza per ABC, G l'intersezione tra OB e O'C e H l'intersezione tra O'C e AB, I il circocentro di BCD.
1) G appartiene a $\Gamma$, infatti i triangoli AHC e BHG sono simili (due angoli retti e due opposti al vertice) quindi gli angoli $\widehat{CAH}=\widehat{HGB}$, poiché A appartiene a $\Gamma$ e sta sullo stesso semipiano di G rispetto a BC allora G appartiene a $\Gamma$.
2) I è l'incentro di OO'G: infatti l'asse di BD (e di CD) passa per il centro O (o O') e di conseguenza biseca l'angolo $\widehat{BOD}$ (o $\widehat{CO'D}$).
3) I è sia asse del segmento BC, che passa per il centro di $\Gamma$, sia appartiene alla bisettrice di $\widehat{BGC}$ quindi l'intersezione tra $\Gamma$ e la bisettrice è sul punto medio di CB e l'intersezione tra $\Gamma$ e l'asse di BC è il punto medio dell'arco BC quindi coincidono con I.

Se la bisettrice e l'asse coincidono allora A coincide con B che non si verifica per ipotesi.

[paga92aren]

Mi hanno fatto notare problemi di configurazione: può capitare che $I$ non sia l'incentro di OO'G, ma l'excentro comunque appartiene alla bisettrice di BGC.

[paga92aren]

Qui c'è il prossimo problema.