Polinomi composti

[Citrullo]

Siano $ P(x), Q(x) $ due polinomi monici e quadratici tali che $ P(Q(x)) $ ha zeri in $ x=-23,-21,-17,-15 $ e similmente $ Q(P(x)) $ si annulla per $ x=-59,-57,-51,-49 $.
Qual'è la somma dei minimi valori di $ P(x) $ e $ Q(x) $?

[Mist]

mi sa che non ho capito bene il testo... Se $P(x)$ è monico, allora non ha un valore minimo Sono io che interpreto male ?

[Citrullo]

Guarda penso di non averlo capito nenche io, per quello l'ho postato!

Il testo in inglese è

Testo nascosto:

Monic quadratic polynomial P(x) and Q(x) have the property that P(Q(x)) has zeros at x=-23, -21, -17, and -15, and Q(P(x)) has zeros at x=-59,-57,-51 and -49. What is the sum of the minimum values of P(x) and Q(x)?

Per quanto rigurda il fatto di essere monico, non capisco perchè non dovrebbe avere un valore minimo... Per esempio una parabola tipo $ f(x)=x^2 $ è monica ma con minimo in $ (0;0) $..

[Mist]

oh che cazz... mi ero dimenticato cosa volesse dire monico

Bon, tutto chiaro ora...

[staffo]

Visto che è un po' che è qui, posto la mia soluzione....
Chiamo $p(x):= x^2+a_1x+a_0$ e $q(x):= x^2+b_1x+b_0$

Ora $p(q(x)):= (x^2+b_1x+b_0)^2+a_1(x^2+b_1x+b_0) + a_0$ ; e $q(p(x))$ nello stesso modo.
Sfruttando le relazioni radici coefficienti ottengo:
$2b_1=23+21+17+15$
$2a_1=59+57+51+49$
$b_0^2+a_1b_0+a_0=23\cdot21\cdot17\cdot15$
$a_0^2+b_1a_o+b_0=59\cdot57\cdot51\cdot49$

Da questo sistema ricavo $a_1=108$ $a_0=2880$ $b_1=38$ $b_0=297$

Essendo un equazione polinomiale quadratica una parabola, ed essendo monica, il minimo sarà il valore assunto dal vertice, che ha ordinata pari a $-\frac{a_1^2-4a_0}{4}$ (e lo stesso per b); la somma di questi due valori è $-100$ (che risultato simpatico, spero di non aver sbagliato la miriade di brutti conti)

[Citrullo]

Corretto, bravo!
Mi ero convinto non so per quale astruso motivo che polinomio quadratico significasse un polinomio scrivibile come quadrato di un altro polinomio... Terribile!