26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4

[max tre]

2011 è un numero primo. E' vero che tra gli anni dell'attuale secolo i numeri primi sono meno di 21?

[Drago96]

Guardando una tavola dei numeri primi, direi di sì...
Per ora sono arrivato a "dimostrare" che ci sono al più 27 numeri che possono essere primi...

Su 100 numeri, la metà sono divisibili per due; dei 50 rimanenti uno ogni 3 è multiplo di 3, ovvero sono 16; di questi 34 ce ne sono 7 multipli di 5. Quindi $ 100-(50+16+7)=27 $

Ora devo toglierne ancora 6...
Devo provare prodotti di numeri primi $p>5$...
Per tentativi, direi
$17 \cdot 11^2 = 2057$
$41 \cdot 7^2 = 2009$
$19 \cdot 107 = 2033$
$23 \cdot 89 = 2047$
$29 \cdot 71 = 2059$
$13 \cdot 157 = 2041$ (ok, lo ammetto... per questo mi sono servito di una tavola, ma me ne serviva disperatamente un'ultimo!!!)

Così ho trovato che ci sono al massimo 21 numeri primi tra 200 e 2100!

[max tre]

ne manca ancora uno!

[Drago96]

ne manca ancora uno!

Lo temevo...
Comunque l'ho trovato!
$23 \cdot 91 = 2093$

[max tre]

ok, tralascio il mio commento su questo esercizio
(che ho miseramente cannato perché, sbagliando un conto, mi sono fermato ai multipli di 7, usando il principio di inclusion-esclusione)
comunque, mi aspettavo una soluzione ufficiale più soddisfacente di quella presentatami alle premiazioni, di cui riporto solo l'inizio:
"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"

tra l'altro, sotto riportano i 100 numeri che va dal 2000 al 2099 anziché dal 2001 al 2100

comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20

[Hawk]

Probabilmente hai scritto male perchè:
$ 23\cdot91=2093 $

[xdavix96]

Guardando una tavola dei numeri primi, direi di sì...
Per ora sono arrivato a "dimostrare" che ci sono al più 27 numeri che possono essere primi...

Su 100 numeri, la metà sono divisibili per due; dei 50 rimanenti uno ogni 3 è multiplo di 3, ovvero sono 16; di questi 34 ce ne sono 7 multipli di 5. Quindi $ 100-(50+16+7)=27 $

Ora devo toglierne ancora 6...
Devo provare prodotti di numeri primi $p>5$...
Per tentativi, direi
$17 \cdot 11^2 = 2057$
$41 \cdot 7^2 = 2009$
$19 \cdot 107 = 2033$
$23 \cdot 87 = 2001$
$27 \cdot 71 = 2059$
$13 \cdot 157 = 2041$ (ok, lo ammetto... per questo mi sono servito di una tavola, ma me ne serviva disperatamente un'ultimo!!!)


Mmm, scusa, ma 27*71 (non fa 2059, avrai sbagliato un calcolo) e 23*87 sono già contati nei multipli di 3

Così ho trovato che ci sono al massimo 21 numeri primi tra 200 e 2100!

[Drago96]

"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"

davvero è questa la soluzione ufficiale??

comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20

È una formula di gauss, vero? L'avevo vista su un libro sui numeri primi...
E non è stato sufficiente questo? (Con la calcolatrice mi viene 11...)

@hawk: hai ragione...

[max tre]

"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"

davvero è questa la soluzione ufficiale??

giuro, io ce l'ho tra le mani stampata, ma se non ti fidi tra qualche giorno esce su internet (qua: http://www.math.unipd.it/~mathesis/)

comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20

È una formula di gauss, vero? L'avevo vista su un libro sui numeri primi...
E non è stato sufficiente questo? (Con la calcolatrice mi viene 11...)

sicuramente gauss centrava qualcosa, adesso non ricordo
Ci sono un po' di problemi:
1) come calcolarlo senza calcolatrice? di sicuro non si può calcolare, forse si può dimostrare che è minore di 20
2) gauss o chi per lui diceva che $ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln x}}=1 $, ovviamente non è vero che per ogni x $ \pi(x)=\frac{x}{\ln x} $, questa è solo una stima
3) $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001}=11,... $, mentre di numeri primi nel 21° secolo ce ne sono 14....

[Drago96]

Ok, ora ho editato tutto... Mi pare che sia tutto a posto...

"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"

davvero è questa la soluzione ufficiale??

giuro, io ce l'ho tra le mani stampata, ma se non ti fidi tra qualche giorno esce su internet (qua: http://www.math.unipd.it/~mathesis/)

Mi fido, mi fido...
Certo che non avevano proprio niente da fare se si sono messi a fare il crivello sui numeri da 2000 a 2100!!!
Però non mi sembra molto giusto nei confronti dei partecipanti, che penso non abbiano avuto tutto il tempo necessario a farsi il crivello...

sicuramente gauss centrava qualcosa, adesso non ricordo
Ci sono un po' di problemi:
1) come calcolarlo senza calcolatrice? di sicuro non si può calcolare, forse si può dimostrare che è minore di 20
2) gauss o chi per lui diceva che $ lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln x}}=1 $, ovviamente non è vero che per ogni x $ \pi(x)=\frac{x}{\ln x} $, questa è solo una stima
3) $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001}=11,... $, mentre di numeri primi nel 21° secolo ce ne sono 14....

Penso che il problema più grosso sia il primo...
Per il secondo, direi che 2000 sia abbastanza grosso (difatti 11 è abbastanza vicino a 14...)
Comunque tu come hai fatto a dire che è minore di 20?

[max tre]

non l'ho fatto... (cioè, non l'ho fatto usando 'sta roba di gauss)
avevo iniziato col principio di inclusione-esclusione sui numeri dispari: mi ero trovato i multipli di 3, 5 e 7, poi quelli di 15, 21, 35 e 105
sottraendo a 50 i primi 3 e sommando gli altri 4 mi veniva 19, quindi, visto che bisognava togliere anche i multipli di 11 e 13 direi che ho sbagliato i conti, come al solito...
comunque anche il secondo non è un problema da poco (tra l'altro la differenza tra $ \pi(x) $ e $ \frac{x}{\ln x} $ aumenta con l'aumentare di x...)
per quanto riguarda il tempo, erano 8 problemi in 2 ore e ho sbagliato a farmi la brutta copia su esercizi banali come l'1, dove bastava farsi un'abbozzo; perché l'ultimo problema ho fatto solo in tempo a leggerlo (comunque geometria solida non mi piace, quindi non so quanto ci avrei guadagnato)