26° Gara Matematica "Città di Padova" - 1

[max tre]

Si determini il numero primo $ p $ in modo che le soluzioni dell'equazione
$ x^2-2px-360p=0 $
siano intere

[Giuseppe R]

Siano a e b queste soluzioni intere, allora modulo p si verifica che $ a\equiv b \equiv 0 \pmod p $ da cui segue che posso porre a = pa' e b=pb'. Per le formule di Viéte ho che ab=-360p da cui a'b' = -360/p, pertanto p divide 360, quindi può essere solo 2, 3 o 5. Sostituendo all'inzio ottengo rispettivamente:
$ x^2 - 4x - 720 = 0 $ niente soluzioni intere
$ x^2 - 6x + 1080 = 0 $ da cui ottengo le sue soluzioni intere -30 e 36
$ x^2 - 10x - 3600 = 0 $ niente soluzioni intere
Quindi p=3

[LukasEta]

$ x^2-2px-360p=0 $

$x=p\pm \sqrt{p^2+360p}$ , quindi $ p^2+360p=m^2 $ con $m$ intero.

$(p+m)(p-m)=-360p$ .

Quindi $p$ deve dividere uno tra $(p+m)$ e $(p-m)$. In entrambi i casi , ho che necessariamente $m=kp$ , e pertanto il prodotto di $(p+m)$ e $(p-m)$ sarà comunque divisibile per $p^2$. Ma allora anche $-360p$ è divisibile per $p^2$, e quindi $p|360$.

Gli unici primi $p$ che dividono $360$ sono $p=2,3,5$: non mi resta che provare i 3 casi.

Per $p=2$:
$x=2\pm \sqrt{2^2+360\cdot 2}$ niente soluzioni intere.

Per $p=3$:
$x=3\pm \sqrt{3^2+360\cdot 3}= 3\pm 33$ , quindi ci dà soluzioni intere.

Per $p=5$
$x=5\pm \sqrt{5^2+360\cdot 5}= 5\pm \sqrt{1825}$ , che non ci dà soluzioni intere.

Pertanto $p=3$

[fraboz]

non si fa in tempo a scrivere una soluzione in tex che ti hanno già preceduto in 2

[LukasEta]

non si fa in tempo a scrivere una soluzione in tex che ti hanno già preceduto in 2

Ahah ero lì a scrivere tutto in fretta, e mi ha comunque preceduto Giuseppe R xD