26° Gara Matematica "Città di Padova" - 3

[max tre]

Si consideri un cubo di spigolo 2 dm.
Si calcoli la distanza dei punti medi dei suoi spigoli da uno dei vertici del cubo.
Di tali punti medi qual è il massimo numero di complanari?
Di che tipo di poligono convesso essi sono vertici? Qual è la sua area?

[Drago96]

Considero questo cubo:

$ B $ e gli altri sono distanti da $ A $ 1 dm
$ C $ e gli altri distano $ \displaystyle{\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} dm} $
$ D $ e gli altri sono a $ \displaystyle{\sqrt{{(2 \cdot \sqrt{2})}^2 + 1^2} = \sqrt{8+1} = 3 dm} $

Questi punti delimitano un solido con 6 facce quadrate dal lato $ \sqrt{2} $ e 8 facce triangolari equilatere con uguale lato

Per la seconda domanda, direi massimo 4...

[max tre]

dalla figura capisco poco perché le lettere sono troppe e tutte appiccicate...
le distanze dovrebbero essere quelle comunque (non ho la brutta perché ho consegnato anche quella ma spero di non aver sbagliato pitagora )

Questi punti delimitano un solido con 6 facce quadrate dal lato$ \sqrt2 $ e 8 facce triangolari equilatere con uguale lato

Questo non l'ho scritto, non penso fosse richiesto

Per la seconda domanda, direi massimo 4...

Io ne ho trovati di più, ma magari mi sono sbagliato io (prova a rivedere)

[Drago96]

Ah, scusa... mi sono confuso io...
Allora dovrebbero essere 6, che formano un esagono regolare di lato $ \sqrt{2} $
Perciò l'altezza dovrebbe essere $ \displaystyle{{1 \over 2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{{3 \over 2}}} $
Quindi l'area $ \displaystyle{{6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{{3 \over 2}} \over 2} = 3 \cdot \sqrt{3}} $

[max tre]

ok, dovrebbe coincidere