Variante del tris

[matty96]

A scuola giocando con un compagno a tris ho pensato a un problema.Diciamo che definisco $n$-tris una estensione del gioco classico,(nel senso che 1-tris corrisponde alla griglia 3x3, 2-tris corrisponde a 4x4 e cosi' via).Stabilire se le possibilità di pareggio sono maggiori, minori o uguali del tris classico,mano a mano che $n$ diventa più grande.

Ho una soluzione ma non so se è giusta(anzi sarà sbagliatissima), quindi la metto nascosta:

Testo nascosto:

Per capire la soluzione è meglio fare un disegno dello schema di gioco(basta disegnare una griglia 3x3 e 4x4).
Nella costruzione degli $n$-tris noto che i centri della griglia sono conposti da $f(n)=n^2$ caselle.Ora il minimo numero di caselle da coprire affinchè si è sicuri di non perdere è $n^2+2$ , in particolare due sono agli estremi e gli altri i centri.Se n diventa più grande, anche il numero di caselle al centro diventa più grande,ma cosi' aumentano le possibilità di occupare le caselle centrali,da avversari diversi, perciò la possibilità di vincita si riduce e aumenta quella di parità per entrambi i giocatori.

[Drago96]

Solo un chiarimento: nel 2-tris (4x4) devo mettere 4 segni in fila, giusto?

[matty96]

si, come in quello classico,valgono le stesse regole

[Drago96]

"A occhio" direi che le probabilità di pareggio aumentano all'aumentare di n, per il motivo che hai detto tu...
Ma non saprei proprio come formalizzarlo...

[paga92aren]

Partendo dal presupposto che il tris è un gioco stupido (determinato) per qualsiasi dimensione della scacchiera, la mia domanda è:
come giocano i due giocatori? in maniera casuale? o ragionando nel migliore dei modi su ogni mossa?
Nel primo caso ciò implica che nel 1-tris un giocatore piazza 2 croci consecutive non è certo che il cerchio vada a contrastarlo per evitare la sua sconfitta.
Nel secondo caso tutte le partite finiscono col pareggio qualsiasi sia la scacchiera.

[ndp15]

Nel secondo caso tutte le partite finiscono col pareggio qualsiasi sia la scacchiera.

Si può dimostrare facilmente questo fatto?

[paga92aren]

Non ci avevo ancora provato
Sicuramente (e lo posso dimostrare) o vince sempre il primo o sempre il secondo o pareggiano sempre.
A logica il secondo non può vincere ed è improbabile che vinca il primo, quindi mi sembra più naturale che pareggiano sempre (non mi viene una dimostrazione ora).

[phi]

Mmmmh allora.
E' vero che non è chiaro cosa intenda matty96; lì per lì ho pensato che la sua domanda originale volesse prescindere dall'esistenza di strategie vincenti, ma forse no...?
In realtà non è nemmeno chiaro se la sua generalizzazione del tris sia un "$ k $-in-a-row" sulla scacchiera $ k\times k $, come si desume dalla sua risposta a Drago96 e come credo abbia interpretato paga92aren (in caso contrario ci sarebbero un po' di cose da aggiustare negli ultimi post ).
Vi spiace se cambio un minimo la notazione? Facciamo che chiamo $T(n, h, k)$ un gioco in cui due giocatori si alternano nel selezionare caselle di una griglia $ h\times k $, e vince chi per primo si ritrova con $ n $ caselle consecutive (in verticale o orizzontale o diagonale).
Dal testo nascosto mi sembra di capire che matty96 chiami $ n $-tris il gioco $ T(3,n+2,n+2) $ (correggimi se sbaglio).
$T(3,3,3)$, se entrambi i giocatori giocano al meglio, finisce in parità, e questo lo sappiamo (immagino). Una cosa che potreste dimostrare è che $T(3,h,k)$ è vinto per il primo giocatore se $h,k\geq3$ e $\max(h,k)>3$. Perciò, l'$n$-tris ammette sempre una strategia vincente per il primo giocatore, a parte nel caso standard: se questi sa giocare decentemente, non si pareggia affatto. (E se paga92aren stava parlando di questo gioco... sorry, non sono d'accordo col tuo guess )
La domanda iniziale potrebbe invece riguardare il numero di configurazioni "patte" (senza tris) possibili al variare di $n$. Parlavi del numero di partite che finiscono in parità, diviso quello di tutte le partite possibili?
Poi mi sfugge il senso della soluzione nascosta: naturalmente occupare tutte le $n^2+2$ posizioni di cui parli non sarà solo "improbabile al crescere di $n$", ma proprio impossibile: in generale saranno ben più della metà delle caselle. D'altra parte, ciò non pregiudica minimamente la vittoria di uno dei giocatori, e non mi è ben chiaro che relazione abbia col numero di "patte possibili".

Per quanto riguarda il problema di paga92aren, che credo sia l'esito del gioco $T(n,n,n)$, è vero: il secondo giocatore può sempre forzare la patta (vabbeh, a parte $n=1$ e $2$, se li stiamo considerando). E sì, si dimostra, ma non è così scontato.

A logica il secondo non può vincere

Anche questo è vero (e il ragionamento che riassumi con "a logica" può diventare una dimostrazione, anche relativamente carina secondo me ).
Una cosa simpatica da dimostrare (ma non avrei idea della difficoltà, perché conosco la soluzione ma non ho mai dovuto provare ad arrivarci ) è che in $T(9,\infty,\infty)$ (ok la mia notazione sta degenerando... intendo filetto da 9 giocato sulla griglia infinita) il secondo giocatore può forzare la patta. Da qui segue (perché?) che per ogni $n\geq 9$ $T(n,n,n)$ finisce in parità; e i casi più piccoli si possono fare giocando un po' con la stessa idea.
E adesso basta, altrimenti finisce che mi metto a raccontare di generalizzazioni $d$-dimensionali di questo gioco, a cui voglio particolarmente bene...

[dario2994]

$T(9,\infty,\infty)$ (ok la mia notazione sta degenerando... intendo filetto da 9 giocato sulla griglia infinita)

Con o senza bordi? Nel senso che la griglia è infinita in ogni direzione oppure tipo ci sono i bordi sopra e a sinistra?

[phi]

Infinita infinita. Senza bordi. (Naturalmente sarebbe vero anche "coi bordi", di conseguenza...)

[paga92aren]

Dal testo nascosto mi sembra di capire che matty96 chiami $ n $-tris il gioco $ T(3,n-2,n-2) $ (correggimi se sbaglio).

Credo che intendesse $T(3,n+2,n+2)$ dato che 1-tris è il 3x3.

Per quanto riguarda il problema di paga92aren, che credo sia l'esito del gioco $T(n,n,n)$, è vero

Mi riferivo proprio al gioco $T(n,n,n)$

[phi]

Credo che intendesse $T(3,n+2,n+2)$ dato che 1-tris è il 3x3.

Ovviamente. Editato, thanks.