Riemann Competition

[<enigma>]

Beh posso anche postare uno sketch di soluzione degli altri primi due perché i successivi sono un po' più lunghetti.

Testo nascosto:

Per l'1) basta notare che $ n^4+4^n=(n^2+2n\cdot4^{n-1}+2\cdot 4^{n-1})(n^2-2n\cdot4^{n-1}+2\cdot 4^{n-1}) $ ($ =5 $ per $ n=1 $); per il 3) invece basta osservare che $ y^2+1=x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) $ ha solo fattori primi $ \equiv 1 \pmod 4 $, ma $ x $ è dispari da cui il secondo fattore è $ \equiv -1 \pmod 4 $, assurdo perché implica $ y^2 \equiv -1 $ modulo qualche $ p \equiv -1 \pmod 4 $ che divide il secondo fattore.

[patatone]

per me il più difficile è quello dell'integrale (mi pare il 5), ci ho messo una mattina intera di scuola a risolverlo

[dario2994]

Qualcuno piazza le soluzione del 5 e del 6 che non sono riuscito a farli (il 5 manco provato, sul 6 invece c'ho sbattuto pesantemente la testa )

EDIT: con un hint pesantissimo ce l'ho fatta a fare sto benedetto 6 (è che ero convintissimo che non ci fosse una bella formula per la versione finita della sommatoria... )

[patatone]

@dario2994: per il 6 hai ragione, praticamente bastava sapere quella formula chiusa e il problema era risolto, ma partendo da zero era semi-impossibile da trovare. Io ho avuto la fortuna di aver già visto questa cosa su matematicamente e quindi ci ho messo poco a finire.
Per il 5 appena ho tempo metto la mia soluzione (un po' lunghetta) che sfrutta un'idea di tipo algebrico per trovare f(x) in formula chiusa e un po' di conti e trucchetti di analisi per calcolare l'integrale. Comunque di teoria dei numeri ha molto poco, almeno nella strada in cui l'ho affrontato io

[paga92aren]

Io ho trovato la formula chiusa $F_n=\sin^2(2^n \arcsin \sqrt x)$ ma poi non sapevo integrare...

[ileo83]

chiedo scusa se mi intrometto. stavo guardando i problemi ma non so dove metterci mano!
per il primo, cosa significa il simbolo p-adica?

poi, nel 5, la F non mi sembra sia definita. cioe' la F con cui si costruiscono gli integrandi per n>2.

poi per l'ultimo, qualcuno mi darebbe un po' di referenze sui numeri di Fibonacci?
cioe' io sapevo la solita definizione ricorsiva, ma probabilmente per risolvere il quesito serve
conoscere un po' di proprieta'. non credo basti la semplice definizione.

ciao