Primi nel triangolo di Tartaglia

[kalu]

Si può dimostrare che, scelti un numero primo $ p $ e due interi $ a $ e $ b $, $ p $ divide
$ \displaystyle \sum _{k=0}^{p-1} [{ p-1 \choose k } - (-1)^k]a^{p-1-k}b^k $
la domanda è: se $ a $ e $ b $ sono coprimi e non divisibili per $ p $, credete che $ p^2 $ possa in quache caso dividere la sommatoria di sopra? Io sospetto di no, e anzi ne sono certo per $ p=2,3,5. $
In realtà non ho nessuna base per credere che sia vero per tutti gli altri primi. Cosa ne pensate?

[SkZ]

penso che sia da matematica non elementare
almeno non da ricreativa

[kalu]

Non dire così che poi me la credo Già sto imprisciato che sono riuscito in qualche modo a far venir fuori con il laTex il simbolo della sommatoria

[SkZ]

Si può dimostrare che, scelti un numero primo $ p $ e due interi $ a $ e $ b $, $ p $ divide
$ \displaystyle \sum _{k=0}^n [{ p-1 \choose k } - (-1)^k]a^{p-1-k}b^k $
la domanda è: se $ a $ e $ b $ sono coprimi e non divisibili per $ p $, credete che $ p^2 $ possa in quache caso dividere la sommatoria di sopra? Io sospetto di no, e anzi ne sono certo per $ p=2,3,5. $
In realtà non ho nessuna base per credere che sia vero per tutti gli altri primi. Cosa ne pensate?

penso che l'n sia un $p-1$, in tal caso
$$\sum _{k=0}^{p-1} [{ p-1 \choose k } - (-1)^k]a^{p-1-k}b^k =(a+b)^{p-1}-\sum _{k=0}^{p-1} (-1)^ka^{p-1-k}b^k$$

[kalu]

Certamente. Oppure lo puoi anche scrivere come

$ \displaystyle \frac {(a+b)^p-a^p-b^p} {a+b} $

a patto che $ p $ sia diverso da 2

penso che l'n sia un p−1

Si, infatti Edito subito