$pq\mid p^p+q^q+1.$

[LukasEta]

Trovare tutti i primi $(p,q)$ tali che $pq\mid p^p+q^q+1$.

[jordan]

Trovare tutti i primi $(p,q)$ tali che $pq\mid p^p+q^q+1$.

Se $p=q$ non ci sono soluzioni; il problema è simmetrico per cui assumiamo wlog $p> q$. Se $q=2$ allora $p\mid 2^2+1$ per cui $(p,q)=(5,2)$ è soluzione. Abbiamo che $q\mid \text{gcd}(p^{q-1}-1,p^{2p}-1)$ e che $ \text{ord}_q(p) \neq p $: significa che l'ordine moltiplicativo può essere soltanto $2$ oppure $2p$, ma l'ordine divide sempre $\varphi(q)$, e in particolare $\text{ord}_q(p)\le \varphi(q)<q<p<2p$. Possiamo dedurre che $q\mid p^2-1$, e dato che $\text{gcd}(q,p-1)=1$, anche $q\mid p+1$, quindi $p=2kq-1$ per qualche intero $k>0$. Dato che $p\mid q^q+1$ vale: $p\mid \text{gcd}(q^{2q}-1,q^{p-1}-1)=\text{gcd}(q^{2q}-1,q^{2kq-2}-1)=q^2-1$, ma questo è impossibile dato che $\text{gpf}(q^2-1)\le \frac{q+1}{2}\le q < p$. []