Da Cortona: 8 punti e 22 assi...

[Mist]

Siano dati 8 punti nel piano. Vengono costruiti tutti i possibili segmenti con estremi in tali punti. Si sa che gli assi di almeno 22 di questi segmenti si intersecano in uno stesso punto. Si dimostri che tutti gli assi dei segmenti costruiti si intersecano nel medesimo punto.

Vediamo come fate, io ho dato una soluzione diversa da quella ufficiale che vorrei controllare, ma mi sembra giusta e elegante

[Sonner]

Scrivo la mia
Chiamo buoni i segmenti con assi concorrenti e chiamo O l'intersezione.

Ad ogni punto associo i segmenti buoni che partono da esso (chiaramente sto contando ogni segmento buono due volte, una per ogni estremo). Allora per il pigeonhole esiste un punto che è estremo di $[\frac{44}{6}]+1=6$ segmenti buoni $ \rightarrow $ questi 7 punti sono tutti equidistanti da O. In tutto ho quindi $ \binom{7}{2}=21 $ segmenti, ne avanza uno che dovrà necessariamente collegare l'ottavo punto con uno degli altri, quindi tutti i punti sono equidistanti da O.

Da notare che con 21 segmenti buoni funzionava tutto, infatti potevo scegliere un ettagono regolare e un altro punto fuori.

[Mist]

Bon, la tua è come quella ufficiale, quasi mi pare complimenti, la mia è più lunga e noiosetta...

In tutto si formano $\frac{7\cdot 8}{2} =28 $segmenti. Possiamo costruire però 6 triangoli, a partire dai nostri 8 punti iniziali, tali che non si intersechino tra loro e in modo tale che almeno uno di essi abbia due lati con gli assi tracciati per ipotesi.. é sufficiente infatti scegliere due punti che hanno l'asse costruito per ipotesi e scegliere un altro punto tra i sei rimanenti tale che il nuovo segmento venga tagliato dal suo asse costruito per ipotesi e nessun altro punto sia interno al triangolo che si va a formare. Costruiamo gli altri 5 triangoli scegliendo sempre il nuovo punto in modo tale che il triangolo che si va a formare non contenga altri punti e che almeno uno dei due nuovi segmenti che si vanno ad introdurre abbiano l'asse tracciato per ipotesi. Abbiamo così costruito tredici segmenti. Di questi, 7 hanno gli assi tracciati.. Ma quindi abbiamo che in ogni triangolo tracciato l'asse che non è tracciata per ipotesi si va a incontrare nello stesso punto delle altre due e quindi delle altre ventidue. Proseguendo questo ragionamento per tutte le configurazioni possibili si ha la tesi.