Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve questo problema? Ho letto la soluzione ufficiale ma non ho capito molto...
da febbraio 2011
da febbraio 2011
Quanto vale la somma delle seste potenze delle soluzioni dell’equazione$ [tex] $$ [tex] $x^6-16x^4+16x^2-1=0$ $
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve questo problema? Ho letto la soluzione ufficiale ma non ho capito molto...
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve questo problema? Ho letto la soluzione ufficiale ma non ho capito molto...
Re: da febbraio 2011
$ x^6-16x^4+16x^2-1=(x^2-1)(x^4-15x^2+1) $, da cui $ x=\pm 1 $ oppure $ x=\pm \sqrt{\dfrac{15 \pm \sqrt{221}}{2}} $
Se elevi al quadrato queste soluzioni, ottieni $ 1,\dfrac{15 + \sqrt{221}}{2} $ e $ \dfrac{15 - \sqrt{221}}{2} $, che dovrai contare due volte (ad esempio, $1$ lo ottieni una volta da $-1$ e una volta da $+1$). Ora elevi al cubo questi risultati (perchè $ (x^2)^3=x^6 $), li sommi tra loro e moltiplichi tutto per $2$. A questo punto potrebbero dare fastidio i due irrazionali, che di solito chiamo $a$ e $b$ per comodità: in questo caso abbiamo $ 1^3+a^3+b^3=1+[(a+b)^3-3ab(a+b)] $
Sapendo che $ a+b=15 $ e $ ab=1 $ si trova per sostituzione $ 1+15^3-45=3331 $, che raddoppiato dà $6662$.
Spero di essere stato abbastanza chiaro...
Se elevi al quadrato queste soluzioni, ottieni $ 1,\dfrac{15 + \sqrt{221}}{2} $ e $ \dfrac{15 - \sqrt{221}}{2} $, che dovrai contare due volte (ad esempio, $1$ lo ottieni una volta da $-1$ e una volta da $+1$). Ora elevi al cubo questi risultati (perchè $ (x^2)^3=x^6 $), li sommi tra loro e moltiplichi tutto per $2$. A questo punto potrebbero dare fastidio i due irrazionali, che di solito chiamo $a$ e $b$ per comodità: in questo caso abbiamo $ 1^3+a^3+b^3=1+[(a+b)^3-3ab(a+b)] $
Sapendo che $ a+b=15 $ e $ ab=1 $ si trova per sostituzione $ 1+15^3-45=3331 $, che raddoppiato dà $6662$.
Spero di essere stato abbastanza chiaro...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
