BMO 2011 - 2

[Veluca]

Siano $x, y, z$ numeri reali tali che $x+y+z=0$.
Dimostrare che
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{x(x+2)}{2x^2+1}\ge0$


Divertitevi!

[Mist]

boh, ci provo, vediamo cosa succede...

sostituendo $x$ con $-z-y$ e cicliche si ottiene che la tesi equivale a

$\displaystyle \frac{(y+z)(x+2)}{2x^2+1}+\frac{(x+z)(y+2)}{2y^2+1}+\frac{(x+y)(z+2)}{2z^2+1} \leq 0$.

Posto wlog che $|x|\geq |y|\geq |z|$ si ha che $\displaystyle \frac{1}{2x^2+1} \leq \frac{1}{2y^2+1} \leq \frac{1}{2z^2+1} $.
Si ha quindi che $\displaystyle \frac{(y+z)(x+2)}{2x^2+1}+\frac{(x+z)(y+2)}{2y^2+1}+\frac{(x+y)(z+2)}{2z^2+1} \leq \frac{(y+z)(x+2)}{2z^2+1}+\frac{(x+z)(y+2)}{2z^2+1}+\frac{(x+y)(z+2)}{2z^2+1} = $
$\displaystyle \frac{1}{2z^2+1}(xy+2y+zx+2z+xy+2x+zy+2z+xz+2x+yz+2y) = \frac{2xy+2xz+2yz}{2z^2+1}=\frac{2xy+2x(-y-x)+2yz}{2z^2+1} = \frac{2yz-2x^2}{2z^2+1}$.

Se $x$ e $y$ sono discordi, $\displaystyle \frac{2yz-2x^2}{2z^2+1}$ è negativo e si ha quindi la tesi, se invece $x$ e $y$ sono concordi è sufficiente notare che per le ipotesi prese sopra si ha che $zy < x^2$ e che quindi $\displaystyle \frac{2xy-2x^2}{2z^2+1} \leq 0$ che è equivalente alla tesi.

[Veluca]

Si ha quindi che $\displaystyle \frac{(y+z)(x+2)}{2x^2+1}+\frac{(x+z)(y+2)}{2y^2+1}+\frac{(x+y)(z+2)}{2z^2+1} \leq \frac{(y+z)(x+2)}{2z^2+1}+\frac{(x+z)(y+2)}{2z^2+1}+\frac{(x+y)(z+2)}{2z^2+1}$

E questo passaggio è falso se il numeratore è negativo, cosa che aimè succede piuttosto spesso...

[Mist]

Ah ecco, mi sembrava troppo facile, grazie della correzione...