BMO 2011 - 3

[Veluca]

Sia S un insieme finito di interi positivi con la seguente proprietà: se x è un elemento di S, allora lo sono tutti i divisori positivi di x. Un sottinsieme non vuoto T di S è buono se, per ogni $x,y\in T$ con $x\lt y$, il rapporto $\frac yx$ è una potenza di un numero primo. Un sottinsieme non vuoto T di S è cattivo se, per ogni $x,y\in T$ con $x\lt y$, il rapporto $\frac yx$ non è una potenza di un numero primo. Per convenzione un sottoinsieme di S con un solo elemento è sia buono che cattivo. Sia k il massimo numero di elementi di un sottoinsieme buono di S.
Dimostrare che k è anche il più piccolo numero di sottoinsiemi cattivi a due a due disgiunti la cui unione è S.

Edit: corretto un errore del testo

[Anér]

Se x>y allora $\frac{y}{x}<1$. È lecito considerare anche potenze negative di un primo?
EDIT: Ok