Circonferenza con raggio come quello inscritto [own]
Circonferenza con raggio come quello inscritto [own]
Sia $ABC$ un triangolo e $I$ il suo incentro. $H$ è la proiezione di $I$ su $BC$. $K$ è il simmetrico di $H$ rispetto al punto medio di $BC$. Sia $\omega$ la circonferenza tangente ad $AK$, a $BK$ dalla stessa parte in cui si trova $A$ e alla circonferenza circoscritta ad $ABC$. Dimostrate che $\omega$ ha lo stesso raggio della circonferenza inscritta in $ABC$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Nabir Albar
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Re: Circonferenza con raggio come quello inscritto [own]
$\omega$ tange $AK$ e $BK$ in $M$ e $N$. Do per buono un lemma di cui si è parlato al PreIMO 2010 (l'hint di questo topic): $I\in MN$ (vale per qualunque $K$ su $BC$! 
)
$K$ è il punto di tangenza della circonferenza exscritta opposta ad $A$.
Siano $P, Q$ tali che l'omotetia di centro $H$ e fattore 2 manda $I$ in $P$ e $N$ in $Q$. Sia $R$ il punto medio di $PQ$. $RN\parallel PH\perp BC$ (Talete) $\Rightarrow RN\perp BC$
Inoltre $P$ è diametralmente opposto a $H$ sulla crf. inscritta $\gamma$ $\Rightarrow$ la tangente a $\gamma$ in $P$ è parallela a $BC$ $\Rightarrow$ l'omotetia che manda $\gamma$ nella crf. exscritta trasforma $P$ in $K$ $\Rightarrow P\in AK$.
Essendo $MN\parallel PQ$, $KMN$ e $KPQ$ sono simili, quindi $R$ sta sulla bisettrice di $\angle AKB$. Ma allora $R$ è proprio il centro di $\omega$ (sta anche sulla perpendicolare a $BC$ per $N$).
Essendo $RN=IH$, segue che essa ha lo stesso raggio di $\gamma$. (Analogamente anche la crf. costruita dall'altra parte)
)$K$ è il punto di tangenza della circonferenza exscritta opposta ad $A$.
Siano $P, Q$ tali che l'omotetia di centro $H$ e fattore 2 manda $I$ in $P$ e $N$ in $Q$. Sia $R$ il punto medio di $PQ$. $RN\parallel PH\perp BC$ (Talete) $\Rightarrow RN\perp BC$
Inoltre $P$ è diametralmente opposto a $H$ sulla crf. inscritta $\gamma$ $\Rightarrow$ la tangente a $\gamma$ in $P$ è parallela a $BC$ $\Rightarrow$ l'omotetia che manda $\gamma$ nella crf. exscritta trasforma $P$ in $K$ $\Rightarrow P\in AK$.
Essendo $MN\parallel PQ$, $KMN$ e $KPQ$ sono simili, quindi $R$ sta sulla bisettrice di $\angle AKB$. Ma allora $R$ è proprio il centro di $\omega$ (sta anche sulla perpendicolare a $BC$ per $N$).
Essendo $RN=IH$, segue che essa ha lo stesso raggio di $\gamma$. (Analogamente anche la crf. costruita dall'altra parte)