Paradosso

[spugna]

Qualcuno mi dice dove sta l'errore prima che diventi matto e mi mandino al manicomio?
$ e^{2 \pi i}=1 \Rightarrow e^{2 \pi i+1}=e \Rightarrow e=(e^{2 \pi i+1})^{2 \pi i+1}=e^{1+4 \pi i-4 \pi^2}=e^{1-4 \pi^2} \Rightarrow e^{4 \pi^2}=1 $

[FrancescoVeneziano]

$ \ldots (e^{2 \pi i+1})^{2 \pi i+1} \ldots $

Questa scrittura non ha senso, e in particolare non indica un numero complesso; prova a dire quali sono le sue parti reale ed immaginaria.

Si è già discusso diffusamente di quest'argomento in più occasioni, prova a leggere questi due thread (ma ce ne sono stati certamente altri), e chiedi di nuovo se non ti è chiaro.
viewtopic.php?f=17&t=4351
viewtopic.php?f=17&t=8482

[spugna]

quindi le proprietà delle potenze valgono solo se gli esponenti sono compresi tra $- \pi$ e $\pi$?

[FrancescoVeneziano]

Nei numeri complessi ha senso parlare di elevamento a potenza solo se la base è un numero reale positivo.

[SkZ]

poi tecnicamente non sarebbe
$ e^{i2 \pi k}=\cos{2\pi k}+i\sin{2\pi k}=1 \quad k\in\mathbb{Z} $?
non mi pare sia "poco" differente. anche perche' mi pare che coi compessi si passi a parlare di zeri di una certa equazione.

[spugna]

Nei numeri complessi ha senso parlare di elevamento a potenza solo se la base è un numero reale positivo.

Quindi non ha senso nemmeno scrivere $i^2=-1$??

[SkZ]

occhio a distinguere tra
$f(x,z)=x^z\qquad f: \mathbb{R}\times\mathbb{C}\to \mathbb{C}$
$f(z,x)=z^x\qquad f: \mathbb{C}\times\mathbb{R}\to \mathbb{C}$
$f(z,n)=z^n\qquad f: \mathbb{C}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$

Francesco si riferiva al primo. Il tuo e' l'ultimo che ha sempre senso (prima definizione intuitiva di elevamento a potenza: ha sempre senso moltiplicare per se stesso un certo numero di volte un dato numero )

Ricorda che il matematica e' importante, vitale che le cose siano ben definite, ovvero che non saltino fuori paradossi o comportamenti anomali.