Ennesima funzionale

[spugna]

Trovate tutte le funzioni $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tali che
$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)(f(x^2)+f(y^2)-f(xy))$ $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$

[Drago96]

Premetto che non so niente di funzioni, però direi che un gruppo di funzioni è quello $f(a)=a$;
infatti $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

Però non saprei dire, nè tantomeno dimostrare, se questo è l'unico tipo di funzioni o se ve ne sono altre e quali sono...

[spugna]

In molti problemi di questo tipo la funzione $f(x)=x$ è una soluzione, le altre dipendono dalla posizione delle $f$...

[Valenash]

ci provo, mi viene in un paio di passaggi dunque si insinua il dubbio che abbia sbagliato qualcosa..
allora, faccio la prima sostituzione:

1) $x=0$ e $y=0$, ottengo:
$f(0)+f(0)=(0+0)(f(0)+f(0)-f(0))$ quindi $2 \cdot f(0) = 0 $ da cui $ f(0) = 0$

2) $y=0$, ottengo:

$f(x^3)+f(0)=(x+0)(f(x^2)+f(0)-f(0)) $ e pertanto $ f(x^3) = x \cdot f(x^2)$

Ora sfruttando la 2), posso dire che:

$f(x)=x\cdot f(1)$, da cui ottengo che le funzioni son del tipo

$f(x) = a\cdot x$, con $a = f(1)$

[Sonner]

$f(x)=x\cdot f(1)$

Scusa ma non riesco a capire quel pezzo . Posto la mia.

Tesi: soddisfano tutte e sole le funzioni $ f(x)=kx $ con k reale qualsiasi.
Pongo x=z e y=-z nel testo iniziale, ottengo $ f(z^3)=-f(-z^3) $. Siccome $ z^3 $ è reale qualunque tutte le funzioni devono essere dispari.
Inoltre, come sopra $ f(x^3)=xf(x^2) $.
Sostituisco nel testo, semplifico e ottengo:
$ xf(y^2)+yf(x^2)-(x+y)f(xy)=0 $
Riscrivo con -x al posto di x:
$ -xf(y^2)+yf(x^2)-(x-y)f(xy)=0 $
Sommo e trovo:
$ yf(x^2)=xf(xy) $
Pongo x=1 e ottengo $ f(y)=ky $ con k reale qualsiasi.
Sostituisco nel testo e le funzioni lineari soddisfano.