Nessuna coppia di 20 studenti in una classe ha gli stessi voti sia allo scritto che all'orale di matematica. Diciamo che A è migliore di B se i 2 voti di A sono moaggiori o uguali di quelli di B. I voti vanno da 1 a 10.
a) mostrare che esistono tre studenti A, B e C dali che A è migliore di B e che B è migliore di C.
b) La tesi a) è verificata anche in una classe di 19 studenti?
Cesenatico 95 - 2
Cesenatico 95 - 2
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Cesenatico 95 - 2
Tento, anche se so che la mia dimostrazione non è proprio formale... 
a) E' impossibile che gli studenti abbiano tutti lo stesso voto all'orale o allo scritto, dato che i voti sono 10 e gli studenti 20; perciò per il teorema "dei cassetti" dei voti si devono ripetere.
Stesso ragionamento su voti uguali fino a 11 compreso (applico sempre i cassetti).
1° caso: ci sono 10 studenti con voto $n$; diciamo che sia allo scritto.
Ognuno dovrà avere un voto diverso all'orale, per ipotesi; così si possono sempre mettere in scala.
2° caso: ci sono $2<x<10$ studenti con voto $n$, diciamo lo scritto.
Ognuno di quei 3,4...9 studenti ha un voto diverso dagli altri 2,3...8 (altrimenti si andrebbe contro l'ipotesi); perciò possiamo ordinarli secondo i voti dell'orale.
3° caso: 1 solo studente con voto $n$ allo scritto.
Rimangono 9 voti da distribuire a 19 studenti: 3 di essi avranno lo stesso voto, e si mettono in ordine quelli
4° caso: 10 coppie di studenti con voto $n$ allo scritto.
Posso intanto ordinarne 2; essi però devono avere l'orale diverso.
Ma all'orale almeno due voti si ripetono; perciò posso sempre prendere: una coppia con $n$ allo scritto, di cui uno ha $x$ e l'altro $y$ all'orale; e uno il cui orale è uguale a $x$ o $y$, con uno scritto che posso confrontare con la coppia di partenza.
Per la b) io rispondo no, ma per la dimostrazione mi ci vuo,e un altro po' di tempo...
Comunque la a) è giusta???
a) E' impossibile che gli studenti abbiano tutti lo stesso voto all'orale o allo scritto, dato che i voti sono 10 e gli studenti 20; perciò per il teorema "dei cassetti" dei voti si devono ripetere.
Stesso ragionamento su voti uguali fino a 11 compreso (applico sempre i cassetti).
1° caso: ci sono 10 studenti con voto $n$; diciamo che sia allo scritto.
Ognuno dovrà avere un voto diverso all'orale, per ipotesi; così si possono sempre mettere in scala.
2° caso: ci sono $2<x<10$ studenti con voto $n$, diciamo lo scritto.
Ognuno di quei 3,4...9 studenti ha un voto diverso dagli altri 2,3...8 (altrimenti si andrebbe contro l'ipotesi); perciò possiamo ordinarli secondo i voti dell'orale.
3° caso: 1 solo studente con voto $n$ allo scritto.
Rimangono 9 voti da distribuire a 19 studenti: 3 di essi avranno lo stesso voto, e si mettono in ordine quelli
4° caso: 10 coppie di studenti con voto $n$ allo scritto.
Posso intanto ordinarne 2; essi però devono avere l'orale diverso.
Ma all'orale almeno due voti si ripetono; perciò posso sempre prendere: una coppia con $n$ allo scritto, di cui uno ha $x$ e l'altro $y$ all'orale; e uno il cui orale è uguale a $x$ o $y$, con uno scritto che posso confrontare con la coppia di partenza.
Per la b) io rispondo no, ma per la dimostrazione mi ci vuo,e un altro po' di tempo...
Comunque la a) è giusta???
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Cesenatico 95 - 2
dovrebbe essere corretta, non l'ho guardata nei dettagli ma mi pare che funzioniDrago96 ha scritto:
Per la b) io rispondo no, ma per la dimostrazione mi ci vuo,e un altro po' di tempo...
Comunque la a) è giusta???
per la b) se la risposta è no non c'è nulla da dimostrare, basta trovare un controesempio (che è più facile di una dimostrazione).
Parti da uno dei casi che hai descritto prima (quello più "estremo"), lo porti al limite e se davvero non è possibile riuscirai a trovare una configurazione in cui non funziona la tesi
Ho sempre pensato che la serie armonica non divergesse..poi ho scoperto che non è così...
Ho sempre pensato che l'infinito fosse un numero..grande ma un numero.. poi ho scoperto che non è così...
E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD
Scopri il mondo di Ogame.
Ho sempre pensato che l'infinito fosse un numero..grande ma un numero.. poi ho scoperto che non è così...
E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD
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Re: Cesenatico 95 - 2
La tesi b) mi ha dato un po' da pensare... 
Direi che la prima considerazione e i primi due casi sono uguali...
Poi unisco i casi 3 e 4:
Ci sono 9 coppie di studenti con voto diverso tra loro, e un'altro studente con voto ancora diverso, diciamo all'orale.
Ora considero una coppia con voto $n$; sicuramente c'è un altro studente con voto $n$, però allo scritto, in quanto ci sono anche allo scritto 9 coppie + 1.
Quindi li metto in ordine.
Non mi convince molto, ma non sono riuscito a trovare un controesempio...
Forse con una classe di 18 sarebbe stato diverso...
Qualcuno può dare la soluzione ufficiale, oppure una ben scritta? Grazie.
Direi che la prima considerazione e i primi due casi sono uguali...
Poi unisco i casi 3 e 4:
Ci sono 9 coppie di studenti con voto diverso tra loro, e un'altro studente con voto ancora diverso, diciamo all'orale.
Ora considero una coppia con voto $n$; sicuramente c'è un altro studente con voto $n$, però allo scritto, in quanto ci sono anche allo scritto 9 coppie + 1.
Quindi li metto in ordine.
Non mi convince molto, ma non sono riuscito a trovare un controesempio...
Forse con una classe di 18 sarebbe stato diverso...
Qualcuno può dare la soluzione ufficiale, oppure una ben scritta? Grazie.
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Re: Cesenatico 95 - 2
Qualcuno ha la soluzione ufficiale??
O può almeno controllare che la mia sia giusta?
Grazie infinite!
O può almeno controllare che la mia sia giusta?
Grazie infinite!
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Re: Cesenatico 95 - 2
non c'è una solzione ufficiale ma credo che questa sia giusta:
No, non è verificata, basta dare i voti così:
1-10
2-9
3-8
4-7
5-6
6-5
7-4
8-3
9-2
10-1
2 -10
3 - 9
4 - 8
5 - 7
6 - 6
7- 5
8 - 4
9- 3
10 -2
No, non è verificata, basta dare i voti così:
1-10
2-9
3-8
4-7
5-6
6-5
7-4
8-3
9-2
10-1
2 -10
3 - 9
4 - 8
5 - 7
6 - 6
7- 5
8 - 4
9- 3
10 -2
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Cesenatico 95 - 2
Ci ho pensato seriamente solo ora:
Il che non significa che se A ha 2-3 e B 3-2 possiamo dire che A è migliore di B???amatrix92 ha scritto:Diciamo che A è migliore di B se i 2 voti di A sono moaggiori o uguali di quelli di B.
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Re: Cesenatico 95 - 2
No, non possiamo dirlo. Almeno io l'ho interpretato cosìDrago96 ha scritto:Ci ho pensato seriamente solo ora:
Il che non significa che se A ha 2-3 e B 3-2 possiamo dire che A è migliore di B???amatrix92 ha scritto:Diciamo che A è migliore di B se i 2 voti di A sono moaggiori o uguali di quelli di B.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Cesenatico 95 - 2
Però $3\geq 3$ e $2\geq 2$...amatrix92 ha scritto:No, non possiamo dirlo. Almeno io l'ho interpretato cosìDrago96 ha scritto:Ci ho pensato seriamente solo ora:
Il che non significa che se A ha 2-3 e B 3-2 possiamo dire che A è migliore di B???amatrix92 ha scritto:Diciamo che A è migliore di B se i 2 voti di A sono moaggiori o uguali di quelli di B.
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Re: Cesenatico 95 - 2
devi confrontare gli scritti con gli scritti e gli orali con gli orali...
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.