Sempre dalla prima disfida matematica

[razorbeard]

Per quanti numeri interi non negativi $n$ è possibile trovare $x,y,z$ reali non negativi tali che $x+y+z=87$ e $2xy+2xz+2yz=n^2$?
Io sono arrivato dopo vari passaggi a questo... $n^2+x^2+y^2+z^2=87^2$.
ora sapendo che $87^2=60^2+63^2$ allora dovrei trovare dei valori di $x,y,z$ tali per cui $x^2+y^2+z^2=60^2$oppure $63^2$.
Da qui non sono più andato avanti...
Oppure si conclude che gli unici valori di $n$ sono solo 2 e proprio $60$ e $63$?

[matty96]

Beh...ti do un consiglio, prova a sommare le due equazioni

Comunque a me esce 180 se non ho sbagliato

[Valenash]

beh 180 è troppo, la soluzione è molto più bassa..anche perchè puoi accorgerti da subito che al massimo sarà 87

la metto coperta (solo il numero, il procedimento quando avrò tempo di scriverlo XD)

Testo nascosto:

72

@: razor, $x$ $y$ e $z$ son reali, dunque non deve essere per forza $n=60$ o $n=63$

[Claudio.]

Da $n^2+x^2+y^2+z^2=87^2 \Rightarrow n^2=87^2-(x^2+y^2+z^2)$
Adesso l'idea sarebbe minimizzare $x^2+y^2+z^2$ fissato $x+y+z$, in questo non sono molto bravo, non so se è proprio lecito, ma l'unica cosa che mi viene in mente è un'AM-QM $\displaystyle \frac{(x+y+z)^2}3 \le x^2+y^2+z^2$ da cui dovrei poter dire che il minimo si ha per $x=y=z$ cioè $3\cdot 29^2=2523$.
Quindi abbiamo che $n^2$ al massimo può essere $7569-2523=5046$ e poichè $\sqrt{5046}\approx71,03$ ( senza calcolatrice sarebbe stato fastidioso) il risultato dovrebbe essere $72$(perchè bisogna contare anche 0)(forse bisogna accennare che $x^2+y^2+z^2$ ha codominio $\mathbb R^+$, ma è abbastanza ovvio).
Valenash la tua era anche così?

[razorbeard]

Il procedimento è chiarissimo,tanto che mi sono convinto anch'io della sua esattezza
l'unica cosa che non mi è chiara...perchè dal confronto fra le due medie ti esce fuori che il minimo valore si ha quando $x,y,z$ sono tutti e 3 uguali?

edit: credo di aver capito...si ha quando si verifica l'uguaglianza,no?

[Claudio.]

Si, in ogni caso, se sai che l'uguaglianza è sempre possibilie, allora il minimo è proprio $\frac{(x+y+z)^2}3$.

[RedII]

La soluzione di Claudio fondamentalmente va bene, ma ha bisogno di un piccolo ritocco: non basta dire che $ x^2+y^2+z^2 $ ha codominio in $ \mathbb{R^+}\cup\{0\} $ (ovvio): le prime due equazioni messe a sistema non sono equivalenti a $ x^2+y^2+z^2+n^2=87^2 $ (vale solo una freccia), dunque è necessario saper esibire delle soluzioni che verifichino entrambe le equazioni iniziali (oppure...)

[Claudio.]

Edit Ho capito, ci sto pensando ^^ ho l'impressione che quella dimostrazione diventi inutile...

[matty96]

No.... ho risolto come se fosse $x^2+y^2+z^2=87$ (e comunque mi sembra di aver sbagliato i calcoli alla fine e po ho tenuto conto che x,y,z erano interi non negativi....la stanchezza fa brutti scherzi)

[Valenash]

Ok, metto la mia (anche se non è proprio mia.. ):

Allora, abbiamo già trovato $ x^2 + y^2 + z^2 = 87^2 - n^2 \ge xy + yz + xz + n^2 = {3 \over 2 } n^2$
Dunque $n^2 \le {2 \over 3} 87^2 \rightarrow o \le n \le 71$ (e questa è una condizione necessaria)

D'altronde, è anche sufficiente.. poniamo $x=y$, abbiamo:
$2y + z = 87 \rightarrow z = 87 - 2y$
sostituendo nella seconda equazione iniziale:
$4xy + 2x^2 = n^2 \rightarrow 4x (87 - 2x) + 2x^2 = n^2 \rightarrow -6x^2 + 348 x - n^2 = 0$ che è un'equazione di 2° grado in $x$ sempre risolvibile per $n$ da 0 a 71.

Dunque la soluzione è 72.