Dalla prima disfida matematica del 14 aprile 2011

[razorbeard]

Papi ha 12 caramelle: 4 bianche, 4 rosse e 4 verdi. In quanti modi diversi può distribuirle alle sue 3 figliole, in modo tale che ciascuna ne abbia almeno 1?

[Claudio.]

Possiamo ottenere il numero calcolando tutte le possibilità senza la limitazione che ognuna deve averne almeno 1 e togliendo poi tutti i casi in cui almeno una rimane senza. Quindi dovrebbe essere:
$\binom{6}{4}^3-3\binom{5}{4}^3=3000$
Corretto?

[razorbeard]

Ehm...scusa Claudio ma potresti spiegarmi poerchè il modo di distribuire le caramelle ti viene $\binom{6}{4}^3$ è proprio quello che non ho capito...
perchè io avrei detto$\binom{14}{3}$, anche se mi rendo conto che in questa maniera trascurerei il fatto che sono 4 rosse,4 bianche e 4 verdi...

[Claudio.]

Perchè $\binom{14}{3}$? Cosa rappresentano il 14 e il 3? Io ho semplicemente moltiplicato i modi di disporre 4 oggetti rossi per i modi di disporre 4 oggetti verdi e poi bianchi, che chiaramente sono tutti uguali quindi viene quel cubo.
Spero di essermi spiegato...Comunque hai il risultato?

[razorbeard]

Per quanto rigurda la prima domanda io avevo usato la formula $\binom{n+k-1}{k}$, ma appunto credo che sia sbagliata, poi continuo a non capire il famoso$\binom{6}{4}$, non ho capito dove li stai disponendo questo oggetti, perchè se li disponi in fila la formula è $\frac{12!}{4!4!4!}$, per l'ultima domanda la risposta è no,purtroppo non ce l'ho il risultato...

[Claudio.]

La formula è giusta, solo che l'hai interpretata male, k rappresenta il numero delle palline e n il numero dei figli(scatole), conosci la dimostrazione di quella formula? Se no, ti consiglio di pensarci in modo da non sbgliare più . Quel $\binom64$ è la stessa formula fatta solo per 4 palline(dello stesso colore) e 3 figli. Poichè di palline ne abbiamo 3 tipi diversi e dello stesso numero, lo elevo al cubo, perchè tutte le possibilità sono date dal modo di sistemare quelle rosse per quelle verdi per quelle bianche... poi $\binom54$ è la stessa cosa ma per 2 figli, poichè sto calcolando tutte quei modi che ne lasicano una vuota, poi moltiplico per 3 perchè 3 sono i modi di scegliere ii 2 figli tra i 3.

[RedII]

Claudio hai sbagliato a contare i casi di "almeno una figlia non ha ricevuto caramelle": hai contato due volte i doppioni (i casi in cui ci sono due bambine rimaste senza caramelle). Il $ \binom{6}4^3 $ invece dovrebbe essere corretto: si tratta in pratica (per ogni caramella) di partizionare il numero naturale 4 come somma di tre numeri naturali o, equivalentemente, di partizionare il numero naturale 4+3=7 come somma di tre numeri interi positivi, da cui la formula.

[Claudio.]

Il caso in cui due figlie non hanno ricevuto caramelle li ho contati, perchè quando calcolo il modi per 2 figlie, quello in cui una non ne ha e l'altra le ha tutte è compreso.
Non capisco cosa intendi quando dici che ho contato quando una figlia non ha ricevuto una caramella bianca . Se io conto i modi di distribuirli solo a 2, vuol dire che la terza non ha nessuna caramella di nessun colore...

[RedII]

Il caso in cui due figlie non hanno ricevuto caramelle li ho contati, perchè quando calcolo il modi per 2 figlie, quello in cui una non ne ha e l'altra le ha tutte è compreso.
Non capisco cosa intendi quando dici che ho contato quando una figlia non ha ricevuto una caramella bianca . Se io conto i modi di distribuirli solo a 2, vuol dire che la terza non ha nessuna caramella di nessun colore...

Errore mio, non avevo letto l'esponente 3 (ho già editato infatti). Invece, il problema dei doppioni non è che non li hai considerati, ma che li hai considerati due volte (il caso 0,0,12 per esempio lo hai contato sia scegliendo la prima come "quella senza caramelle" sia scegliendo la seconda).

[Claudio.]

Hai ragione, quindi semplicemente 3000+3=3003.

[razorbeard]

Scusate...fino al 3000 ci sono ma il 3 da dove è saltato fuori?

[RedII]

Scusate...fino al 3000 ci sono ma il 3 da dove è saltato fuori?

$ 3\binom{5}4^3 $ conta i casi (12,0,0), (0,12,0) e (0,0,12) due volte ciascuno. Infatti, se lo vedi come $ \binom{5}4^3+\binom{5}4^3+\binom{5}4^3 $, dove al k-esimo termine corrisponde il numero di distribuzioni di caramelle che non ne danno alcuna alla k-esima figlia, il caso (0,0,12) per esempio è contato sia nel primo termine della somma sia nel secondo. In sintesi, abbiamo tre casi contati due volte, quindi in realtà dobbiamo sottrarre $ 3\binom{5}4^3-3 $.