Un tetraedro che rotola

[Citrullo]

[Dalla prova di ammissione alla galileiana 2010 - Esercizio 6]

Un tetraedro si trova appoggiato su un piano con una certa faccia, gli viene dato un colpo e comincia a rotolare. II rotolamento avviene per facce successive,tutte equiprobabili.

i) Si calcoli la probabilità $ q_n $, che il tetraedro torni a poggiare sulla faccia iniziale esattamente dopo $ n $
rotolamenti (e non prima).

ii) Si calcoli la probabilità $ p_n $ che dopo $ n $ rotolamenti il tetraedro torni a poggiare sulla faccia iniziale. E' possibile che tale probabilità sia nulla?

iii) Si calcoli il numero medio di rotolamenti nccessari affinchè il tetraedro torni a poggiare sulla faccia iniziale (suggerìmento: può essere utile sapere che $ \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2} \forall x: |x|<1... $)

Mi interessa in particolare il punto iii) perchè non riesco a capire cosa significhi il numero medio di rotolamenti.. Cioè dal punto ii) trovo una probabilità in funzione di $ n $ (numero di "rotolate") e poi non so più come andare avanti!

[Claudio.]

Ma il tetraedro può tornare indietro? Mi spiego meglio, è possibile che dopo 2 rotolamenti sia sulla faccia iniziale? In generale che rotolando torni sulla faccia immediatamente precedente?

[Citrullo]

Penso proprio di si, dato che non è specificato il contrario!

[Claudio.]

Dice "facce successive"...non si capisce bene...

[balossino]

Partiamo dal punto i... numeriamo da 0 a n gli esiti dei rotolamenti, che possiamo chiamare A, B, C o D. 0 e n sono fissati e corrispondono ad A. Il numero di casi possibili è 3^(n-1), perché ognuno degli esiti in mezzo, che sono n-1, può essere scelto fra 3 distinti. Escludendo i casi in cui esce di nuovo A, i casi si riducono a 3x2^(n-2). La probabilità totale è dunque di (2/3)^(n-2). Giusto?

[Citrullo]

Perchè consideri i casi possibili $ 3^{n-1} $ e non $ 3^{n} $? Ogni rotolamento da 3 possibili esiti no? Cioè cerco di spiegarmi: A non lo puoi "fissare" arbitrariamente alla fine quando conti i casi possibili, perchè non è certo che ci sarà..

[Claudio.]

è meglio farlo direttamente con la probabilità. cioè pensando che al primo chiaramente non può uscirea A, quindi per ogni rotolamento dopo il primo abbiamo probabilità $2/3$ che non sia A, e che al rotolamento n abbiamo $1/3$ che esca A quindi $\frac13(\frac23)^{n-2}$

[Citrullo]

Esatto ma anche a balossino viene se sostituisce $ 3^n $ a $ 3^{n-1} $..

[balossino]

Perchè consideri i casi possibili $ 3^{n-1} $ e non $ 3^{n} $? Ogni rotolamento da 3 possibili esiti no? Cioè cerco di spiegarmi: A non lo puoi "fissare" arbitrariamente alla fine quando conti i casi possibili, perchè non è certo che ci sarà..

Sto supponendo che A sia ritornato dopo esattamente n rotolamenti, così per esempio se n=3 ho A??A, e devo elevare 3 alla seconda, cioè a n-1

[Claudio.]

Ma 3 rotolamenti, significa che rotola 3 volte, la prima A non è un rotolamento, è lo stato di quiete iniziale LoL. Inizia da A rotola una volta e fa x una seconda volta e fa y una terza e fa A: A X Y A.

[balossino]

Perchè consideri i casi possibili $ 3^{n-1} $ e non $ 3^{n} $? Ogni rotolamento da 3 possibili esiti no? Cioè cerco di spiegarmi: A non lo puoi "fissare" arbitrariamente alla fine quando conti i casi possibili, perchè non è certo che ci sarà..

Sto supponendo che A sia ritornato dopo esattamente n rotolamenti, così per esempio se n=3 ho A??A, e devo elevare 3 alla seconda, cioè a n-1

Ah, aspetta, ho capito cosa vuoi dire! Sì, in pratica stavo considerando certo un fatto che in realtà ha probabilità 1/3 di avvenire, perciò devo dividere per 3. Ok, chiaro

[balossino]

Ma 3 rotolamenti, significa che rotola 3 volte, la prima A non è un rotolamento, è lo stato di quiete iniziale LoL. Inizia da A rotola una volta e fa x una seconda volta e fa y una terza e fa A: A X Y A.

Infatti ho chiamato lo stadio iniziale 0, cosicché n corrisponde al numero dei rotolamenti. Il mio vero errore l'ha trovato Citrullo.

[Claudio.]

Per il punto 2.
Per n<2 la probabilità è chiaramente 0, per $n\ge2$ se chiamiamo $p(n)$ la probabilità che cerchiamo, allora abbiamo che $p(n+1)$ è uguale alla probabilità che nel lancio n non esca la faccia A diviso 3 cioè $\displaystyle p(n+1)=\frac{1-p(n)}3$. Adesso poichè $p(2)=\frac13$ è facilmente calcolabile a mano, possiamo calcolare le altre per ricorsività. é facile notare che il denominatore è $3^{n-1}$ e che al numeratore seguendo la ricorsività avremo $3^{n-2}-3^{n-3}+3^{n-4}-...\pm1$ che può essere scritto,usando la famosa scomposizione, come $\displaystyle\frac{3^{n-1}+(-1)^n}{4}$ quindi infine $\displaystyle p(n)=\frac{3^{n-1}+(-1)^n}{4\cdot 3^{n-1}}=\frac14+\frac{(-1)^n}{4\cdot3^{n-1}}$
Che mostra come per n grandi la faccia di partenza perda importanza, e che per n pari è più probabile che per n dispari.
Per il terzo punto credo mi manchi la teoria...

Edit: Cercando la definizione di media in realtà si vede che è molto scolastico l'ultimo punto, basta applicare la definizione e la forma chiusa che ti da il testo...forse presuppone che questa definizione non sia conosciuta

[Citrullo]

Chiaramente è giusto ma.. Non capisco ancora il significato di quella sommatoria (quella che tu definisci "scolastica")..

[Claudio.]

Neanche io, anche perchè non mi ci sono interessato, ho semplicemente visto che la definizione di media o meglio di valore atteso, in alcuni casi, che dovrebbe essere il nostro, è uguale a $\displaystyle \sum_{i=1}^nnp(n)$ attento però che per l'esercizio 3 $p(n)$ è quella del primo esercizio non del secondo.
Comunque credo proprio che chi ha fatto l'esercizio presupponesse che queste nozioni fossero sconosciute.