amatrix92 ha scritto:$ (0,0) --> (1 ,0 ) --> ( 0 , 1) ---> ( 0 , 2) --> (1 , 1 ) --> ( 2 , 0 ) --> (3, 0 ) --> (2 ,1) ... $ etc ed è fatta perchè sono riuscito a rendere numerabile la coppia generica (a , b).
Ok
Proviamo un po' a generalizzare: Lo stesso discorso lo posso ora fare in un numero finito di dimensioni, posso sempre creare un percorso che passi da tutte le n- uple quindi $ \mathbb N^ n = \mathbb N $ con n finito.
Ok
Per quanto riguarda il fatto che Q sia numerabile provo a riciclare la dimostrazione con qualche aggiunta. I numeri sull'asse x rappresentanto il numeratore, quelli sull'asse y il denominatore. Faccio lo stesso percorso di prima. Sì è vero che ci sarà qualche frazione che non è ridotta ai minimi termini e che quindi "la conto più volte" , ma questo non mi interessa se dimostro che $ \mathbb Q + { qualcosa } $ è numerabile allora anche $ \mathbb Q $ lo è.
Ok, ma sii sicuro di avere chiaro il perché di quest'ultima frase. Nota che $\{1\}+\{\text{qualcosa}\}$ è numerabile, ma $\{1\}$ è finito.
Mi è venuta in mente anche questa che non so se è giusta: $ \aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0 $ detto in altri termini $ | \mathbb N | \cdot |\mathbb N | =|\mathbb N | \iff |\mathbb N |^2 = |\mathbb N | \iff |\mathbb N^2 | = |\mathbb N | $ che è vera in quanto, come osservato da Galileo in primis, è sempre possibile associare ad un numero naturale il suo quadrato 1-->1 2-->4 3-->9 .... quindi i due insiemi hanno stessa cardinalità.
Questa invece temo che non voglia dire nulla --- stai solo giocando con i simboli e con due cose diverse che si indicano entrambe con $\text{qualcosa}^2$. In particolare l'ultima implicazione non funziona.
Edit 2: riripensandoci per rendere quanto più formale possibile la prima dimostrazione devo dire che posso associare un numero al suo successivo perchè il suo successivo esiste sempre per il secondo assioma di Peano.
In fondo sì, ma volendo scendere a quel livello di formalismo, c'è un oceano di cose da precisare. Ti consiglio di lasciar perdere i tentativi di "scendere fino agli assiomi" per ora.