raggio più raggio...

[Mist]

Siano $\Gamma$,$\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ tre circonferenze di raggi rispettivamente $r$, $r_1$ e $r_2$ con $0<r_1<r_2<r$- Le circonferenze $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ sono tangenti internamente a $\Gamma$ in due punti distinti $A$ e $B$ e si intersecano tra loro in due punti distinti. Dimostrare che il segmento $AB$ passa per uno dei punti di intersezione fra $\Gamma _1$ e $\Gamma _2$ se e solo se $r_1+r_2 = r$

[benzo494]

Chiamo C e D i due ulteriori punti di intersezione di AB con le circonferenze 1 e 2. O, O1 e O2 sono i centri delle circonferenze. I triangoli AOB, AO1C e BO2D sono simili tra loro perchè sono tutti isosceli (hanno per lati i raggi delle circonferenze) e hanno gli angoli alla base in comune. Ora r è la somma di r1 e r2 se e solo se AB è la somma di AC e BD, cioè se e solo se C e D coincidono (ciò avviene solo quando AB passa per uno dei punti di intersezione tra le due circonferenze)